给定元素数量的(不同顺序的)矩阵计数

在计算机科学中，给定元素数量的矩阵计数问题是一个常见的问题。其基本形式可以描述为：假设我们有一个大小为 n × m 的矩阵，并且有一组不同的元素，每个元素在该矩阵中出现的次数可能不同。我们需要计算满足以下条件的不同矩阵的数量：

1. 矩阵中每个元素均在给定集合中。
2. 矩阵中每个元素出现的次数不超过给定值。

此问题涉及到组合数学和递推算法。下面我们将介绍两种解决该问题的方法：状压DP和组合数学。

状压DP

状压DP是一种常见的动态规划算法，在计算给定元素数量的矩阵计数问题时也有很好的应用。具体思路如下：

1. 枚举每个元素在矩阵中出现的次数，生成一个状态。
2. 对于每个状态，计算其对应的矩阵数量，同时更新转移方程。
3. 最后得到所求的所有矩阵数量。

这种方法的时间复杂度为 O(2^nm)。

状压DP的代码如下：

dp = [0] * (1 << nm)
dp[0] = 1
for i in range(nm):
    for s in range(1 << nm):
        if s & (1 << i):
            continue
        p = s | (1 << i)
        dp[p] += dp[s] * cnt[i] * choose(nm - bitcount(p))

组合数学

另一种解决给定元素数量的矩阵计数问题的方法是组合数学。这种方法的思路是将问题分解成子问题，分别计算后合并结果。

具体来说，假设有 n 种元素，每种元素出现的次数为 a1, a2, ..., an。则可以将问题分解为 n 个子问题，每个子问题计算给定元素数量的一种情况，即矩阵中只包含给定的一种元素。然后将这些子问题的结果合并，得到总的矩阵数量。

这种方法的时间复杂度为 O(n^2)。

组合数学的代码如下：

def count_matrices(a: List[int], n: int, m: int) -> int:
    ans = 1
    for i in range(n * m):
        x = a[i % n]
        y = a[i // n]
        ans *= choose(x * y, a[i])
    return ans

其中，choose(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。

总结

给定元素数量的矩阵计数问题是一个重要的组合数学问题，在计算机科学中有着广泛的应用。状压DP和组合数学是两种常用的解决方法，各有优缺点。程序员可以根据具体场景选择合适的方法来解决该问题。