给定矩阵中总和为 X 的子矩阵的计数

从一个矩阵中找到总和为 X 的子矩阵的数量是一个常见的问题。对于程序员来说，这种问题可能需要使用特定的算法和数据结构来解决。在这篇文章中，我们将讨论如何使用不同的方法来解决这个问题。

暴力枚举

最简单的解决方法是对给定的矩阵进行暴力枚举。遍历矩阵中的每个元素，并以它为左上角的元素，计算所有可能的子矩阵的和。如果子矩阵的和为X，则增加计数器的值。

def count_submatrices(matrix, X):
    count = 0
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for k in range(i, n):
                for l in range(j, m):
                    # 计算子矩阵的和
                    sub_matrix = matrix[i:k + 1][j:l + 1]
                    sum_sub_matrix = sum([sum(row) for row in sub_matrix])
                    if sum_sub_matrix == X:
                        count += 1
    return count

这个算法的时间复杂度为 $O(n^4)$，对于大型矩阵来说，它的运行时间可能会非常慢。

前缀和

使用前缀和技术进行优化是一个非常流行的方法。前缀和矩阵是一个与原始矩阵具有相同维度的矩阵，其中每个元素存储其左上角子矩阵的和。

def get_sum_matrix(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    sum_matrix = [[0] * m for i in range(n)]
    sum_matrix[0][0] = matrix[0][0]
    for j in range(1, m):
        sum_matrix[0][j] = sum_matrix[0][j - 1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, n):
        sum_matrix[i][0] = sum_matrix[i - 1][0] + matrix[i][0]
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            sum_matrix[i][j] = sum(matrix[i][:j+1]) + sum_matrix[i - 1][j] - sum_matrix[i-1][j-1] + sum_matrix[i][j-1]

    return sum_matrix

使用前缀和矩阵，我们可以通过遍历左上角和右下角的坐标，以常量时间计算给定的子矩阵的和。

def count_submatrices(matrix, X):
    count = 0
    sum_matrix = get_sum_matrix(matrix)
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for k in range(i, n):
                for l in range(j, m):
                    sum_sub_matrix = sum_matrix[k][l]
                    if i > 0:
                        sum_sub_matrix -= sum_matrix[i - 1][l]
                    if j > 0:
                        sum_sub_matrix -= sum_matrix[k][j - 1]
                    if i > 0 and j > 0:
                        sum_sub_matrix += sum_matrix[i - 1][j - 1]
                    if sum_sub_matrix == X:
                        count += 1
    return count

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，优于暴力枚举算法。

分治法

分治算法可以进一步优化前缀和算法。在分治算法中，我们将矩阵划分为更小的子矩阵，并且只计算跨越子矩阵的和等于X的子矩阵。为了实现这个方法，我们需要将子矩阵的和分为三个部分：

• 左侧矩阵的和
• 上方矩阵的和
• 跨越中心矩阵的和

def get_sum_matrix(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    sum_matrix = [[0] * m for i in range(n)]
    sum_matrix[0][0] = matrix[0][0]
    for j in range(1, m):
        sum_matrix[0][j] = sum_matrix[0][j - 1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, n):
        sum_matrix[i][0] = sum_matrix[i - 1][0] + matrix[i][0]
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            sum_matrix[i][j] = sum(matrix[i][:j+1]) + sum_matrix[i - 1][j] - sum_matrix[i-1][j-1] + sum_matrix[i][j-1]

    return sum_matrix

def count_helper(sum_matrix, X, top, bottom, left, right):
    if top > bottom or left > right:
        return 0
    if top == bottom and left == right:
        if sum_matrix[top][left] == X:
            return 1
        else:
            return 0

    mid_row = (top + bottom) // 2
    mid_col = (left + right) // 2
    res = 0

    # 计算跨越中心的子矩阵
    total_sum = 0
    for i in range(top, bottom + 1):
        total_sum += sum_matrix[i][mid_col]
    for j in range(left, right + 1):
        total_sum += sum_matrix[mid_row][j]
    total_sum -= sum_matrix[mid_row][mid_col] * 2
    if X == total_sum:
        res += 1

    # 分别处理左上、右上、左下和右下子矩阵
    res += count_helper(sum_matrix, X, top, mid_row, left, mid_col - 1)
    res += count_helper(sum_matrix, X, top, mid_row, mid_col + 1, right)
    res += count_helper(sum_matrix, X, mid_row + 1, bottom, left, mid_col - 1)
    res += count_helper(sum_matrix, X, mid_row + 1, bottom, mid_col + 1, right)

    return res

def count_submatrices(matrix, X):
    sum_matrix = get_sum_matrix(matrix)
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    return count_helper(sum_matrix, X, 0, n - 1, 0, m - 1)

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2 log^2 n)$，优于前缀和算法。

总结

在这篇文章中，我们探讨了如何计算给定矩阵中总和为X的子矩阵的数量。我们给出了三种不同的方法：

• 暴力枚举：时间复杂度为 $O(n^4)$
• 前缀和：时间复杂度为 $O(n^2)$
• 分治法：时间复杂度为 $O(n^2 log^2 n)$

对于大型矩阵，前缀和和分治法都可以提供快速的解决方案。