范围内非常大的二进制数的异或 [L, R]

在程序设计中，异或运算符 XOR 通常用于数字的位操作。当涉及到范围非常大的二进制数时，因为无法使用 int 或 long 类型存储这些数，所以需要使用其他方法来求解。

在本文中，我们将讨论如何计算范围内非常大的二进制数的异或 [L, R]。

算法

由于我们不实际存储二进制数，所以我们可以将其视为一个二进制字符串。考虑对于一个别的进制，我们可以将其转换为二进制数的方法，同样地，我们可以将十进制的数转换为二进制字符串。

在二进制字符串上，我们可以使用 trie 树（字典树）来存储这些字符串。对于每个二进制字符串，我们从根开始遍历 trie 树，并在遍历的过程中计算异或值。遍历的过程中，如果当前数字为 0，则我们从左子树继续；如果当前数字为 1，则我们从右子树继续。

当我们到达 trie 树上的某个叶子节点时，此时我们已经计算出了与该叶子相对应的二进制字符串的异或值。那么在我们计算 [L, R] 的异或值时，我们只需按位地从高位到低位遍历 L 和 R，同时在 trie 树上寻找相应的路径，将两者的异或值相加即可。

以下是对应的代码片段：

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = {}
        self.size = 0

    def insert(self, n):
        r = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            x = (n >> i) & 1
            if x not in r:
                r[x] = {}
            r = r[x]
        self.size += 1

    def search(self, n):
        r = self.root
        ans = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            x = (n >> i) & 1
            if 1 ^ x in r:
                r = r[1 ^ x]
                ans |= 1 << i
            else:
                r = r[x]
        return ans

def range_xor(L, R):
    trie = Trie()
    trie.insert(0)
    for i in range(L, R+1):
        trie.insert(i)
    return trie.search(R)

性能分析

首先，Trie 树的空间复杂度与二进制字符串的总长度成正比。因此，对于有 $n$ 个 $k$ 位二进制数的区间，$\log_2(R-L)$ 可以视为二进制字符串的平均长度；于是，空间复杂度为 $O(nk \log_2(R - L))$。

时间复杂度方面，Trie 树的查找时间为 $O(k)$。因此，对于有 $n$ 个 $k$ 位二进制数的区间，时间复杂度为 $O(nk \log_2(R - L))$。

由此可以看出，如果区间范围很大，此算法的时间复杂度就会非常高。但是，由于本算法不需要实际存储这些大数，因此可以应用于某些范围很大的情况，例如 L 和 R 均为 $10^{18}$ 的情况。