最小化成本以将数组拆分为 K 个子集，使得每个元素的成本是其在子集中的位置的乘积

在该问题中，我们被要求将一个长度为n的数组分为k个子集，使得每个元素的成本等于其在子集中的位置的乘积。我们需要最小化这些成本。例如，如果数组为[1,2,3,4,5]，k为3，则一个合法的分配方案为[1,2]、[3,4]和[5]。对于元素1和2，成本为1x1+2x2=5；对于元素3和4，成本为1x1+2x2=5；对于元素5，成本为1x1=1。因此，总成本为11。

策略

要解决该问题，我们需要使用动态规划（DP）技术。首先，我们需要找到DP状态。假设我们已经将前i个元素分为了j个子集，我们需要计算出最小化总成本为多少。我们可以将其表示为：

dp[i][j] = min(dp[x][j-1] + cost[x+1][i])，其中0<=x<i。

上述状态定义中的cost[x+1][i]表示的是将第x+1个元素到第i个元素分配到一个子集中的代价。这个代价可以通过以下公式计算：

cost[x+1][i] = (sum[i]-sum[x]) * (i-x)，其中sum[x]表示前缀和从1到x的元素的和。

比如说，sum[2]表示的是a[1]+a[2]。

我们还需要确定状态的初始条件。当k=1时我们只需将所有元素放入一个子集中。因此，

dp[i][1] = cost[1][i]，其中1<=i<=n。

最终的答案可以表示为：

dp[n][k]

代码

下面是Python代码的实现。

def splitArray(nums, k):
    n = len(nums)
    sums = [0]*(n+1)
    dp = [[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        sums[i] = sums[i-1] + nums[i-1]
        dp[i][1] = (sums[i] - sums[0]) * i

    for j in range(2, k+1):
        for i in range(j, n+1):
            dp[i][j] = float('inf')
            for x in range(j-1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[x][j-1] + (sums[i]-sums[x]) * (i-x))
    
    return dp[n][k]

该算法的时间复杂度为O(n^2*k)。