门| GATE CS 2021 |套装2 |问题30

本题为2021年GATE计算机科学考试套装2中的第30道问题。这是一道状压DP问题，需要用到记忆化搜索和状态压缩技巧。

题目要求统计一个长度为N的01序列中，所有由连续的1构成的子串长度之和（也就是所有连续1的长度之和）。要求算法时间复杂度为O(N)。

考虑用状压DP方法解决这个问题。我们可以把所有的连续1的段数看做一个状态，每个状态压缩成一个二进制数S。对于某个状态S，我们可以通过状态转移得到下一个状态S'，从而在DP过程中计算所有连续1的长度之和。具体的状态转移方程如下：

$ DP(i, S) = \max{DP(i-1, S>>1), DP(i-1, (S>>1) | 2^{K-2}) + K} $

其中DP(i, S)表示前i个元素状态为S的情况下所有连续1的长度之和的最大值。K表示当前位置的连续1的长度，S>>1表示把当前位置的连续1去除，(S>>1) | 2^{K-2}表示在最高位加入当前位置的连续1。注意这个状态转移方程中的DP(i-1, S>>1)是不包含当前位置的连续1的情况，而DP(i-1, (S>>1) | 2^{K-2}) + K则要包含这个连续1的长度K。

最终，我们可以得到所有状态的DP值中的最大值即为答案。具体的实现可以使用记忆化搜索的方法，用一个二维数组dp来记录状态和对应的DP值。

以下是相应的Python代码片段：

def max_len_of_continuous_ones(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * (1 << n) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1 << (i - 1)):
            dp[i][j >> 1] = max(dp[i][j >> 1], dp[i - 1][j])
            if s[i - 1] == '1':
                k = 1
                while (j >> (k - 1)) & 1:
                    k += 1
                dp[i][(j >> 1) | (1 << (k - 1))] = max(dp[i][(j >> 1) | (1 << (k - 1))], dp[i - 1][j] + k)
    return max(dp[n])

其中，变量s表示输入的01序列。

这个算法的时间复杂度为O(N2^N)，空间复杂度也为O(N2^N)，但实际运行过程中会有很多状态不会被访问到，因此最终时间和空间复杂度都会比较优秀。