门 | GATE CS 2021 | 设置 2 | 第 30 题

这是 GATE CS 2021 设置 2 中的第 30 题，需要编写一个程序来实现最小路径覆盖问题。具体来说，给定一个有向无环图，需要找出至少需要多少条路径才能覆盖图中的所有节点。

题目描述

给定一个有向无环图 G=(V,E)，其中 V 表示节点集合，E 表示边的集合。路径是节点的序列，其中相邻的节点之间存在一条边。路径覆盖是一组路径的集合，其中每个节点恰好属于一条路径。

本题需要实现一个函数：

def min_path_covering(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    pass

参数 n 表示节点总数，节点编号从 1 到 n，参数 edges 是一个列表，表示有向无环图中的边，每个元素都是一个二元组 (u, v)，表示存在一条从节点 u 指向节点 v 的有向边。

函数应该返回一个整数，表示覆盖图中所有节点需要的最小路径数。

示例

例如，对于下面的有向无环图：

1 → 2
1 → 3
2 → 4
2 → 5
3 → 4
4 → 6
5 → 6

可以用两条路径来覆盖所有节点：

• 1 → 2 → 5 → 6，覆盖了节点 1, 2, 5, 6
• 1 → 3 → 4 → 6，覆盖了节点 1, 3, 4, 6

因此，函数应该返回 2。

解题思路

本题是一道经典的有向无环图问题，可以使用拓扑排序和动态规划来解决。

假设我们已经对有向无环图进行了拓扑排序，并且得到了每个节点的一个拓扑排序编号。那么这个问题就可以被转化为一个二分图最大匹配问题，其中左部包含所有奇数拓扑排序编号的节点，右部包括所有偶数拓扑排序编号的节点，每条边 (u, v) 表示从左部的节点 u 到右部的节点 v。

接下来，我们只需要通过求解二分图最大匹配问题，得到最小的路径覆盖数即可。

复杂度分析

该算法需要进行拓扑排序，时间复杂度为 O(V+E)，其中 V 表示节点数，E 表示边数。之后，通过 König 定理，可以将二分图最大匹配转换为最小顶点覆盖，时间复杂度为 O(E)。因此，总时间复杂度为 O(V+E)。

代码实现

下面是 Python 语言的参考实现：