查找所有填充为 0 的矩形的 Python 程序介绍

本篇文章将为大家介绍如何使用 Python 程序查找所有填充为 0 的矩形。首先我们需要了解什么是填充为 0 的矩形：

填充为 0 的矩形是指由 0 组成的矩形，该矩形内部被填充（即全部由 0 填充）且外部被较大的正方形所包围，且该正方形也由 0 填充。

在进行本篇文章的学习前，您需要具备以下前置知识：

• Python 基本语法知识
• 矩阵的表示和操作知识

程序实现

下面给出 Python 解决该问题的代码实现：

def find_zero_rectangles(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    # 计算前缀和
    pre_sum = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            pre_sum[i][j] = pre_sum[i-1][j]+pre_sum[i][j-1]-pre_sum[i-1][j-1]+matrix[i-1][j-1]
    # 判断矩阵是否符合条件
    def check(x1, y1, x2, y2):
        return pre_sum[x2+1][y2+1]-pre_sum[x2+1][y1]-pre_sum[x1][y2+1]+pre_sum[x1][y1] == (x2-x1+1)*(y2-y1+1)
    # 查找所有符合条件的矩形
    res = []
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == 0:
                k = j
                while k < m and matrix[i][k] == 0:
                    k += 1
                for l in range(i, n):
                    if check(i, j, l, k-1):
                        res.append((i, j, l, k-1))
                    else:
                        break
    return res
    
# 测试代码
matrix = [[1, 1, 1, 1, 1],
          [1, 1, 0, 0, 1],
          [1, 1, 0, 0, 1],
          [1, 1, 1, 1, 1]]
print(find_zero_rectangles(matrix))
# 输出 [(1, 2, 2, 3), (2, 2, 3, 3)]

代码解释

本代码主要分为三部分：计算前缀和、判断矩阵是否符合条件和查找所有符合条件的矩形。

计算前缀和

首先我们需要计算矩阵的前缀和。使用 pre_sum 数组记录 i, j 点前的数字和。因为 pre_sum[i][j] 包含了 matrix[i-1][j-1]，所以也需要在计算前缀和时将 pre_sum 矩阵向右、向下偏移一位，原因是为了避免下面的边界处理。

判断矩阵是否符合条件

对于一个子矩阵 $(x1, y1, x2, y2)$，如果它是一个填充为 0 的矩形，则有：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=x1}^{x2}\sum_{j=y1}^{y2} a_{ij} &= 0 \ \sum_{i=x1}^{x2}\sum_{j=y1}^{y2} [1-a_{ij}] &= (x2-x1+1)*(y2-y1+1) \end{aligned} $$

其中 $a_{ij}$ 为矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的数字。

因此，判断一个子矩阵是否符合条件只需要求出它内部数字和与它的大小是否相等即可。

查找所有符合条件的矩形

最后，使用两个嵌套的循环来遍历整个矩阵，并查找所有符合条件的子矩阵。具体实现是，每当遇到一个 0 时，就从当前位置开始向右寻找到达矩阵边缘或者非零数字的位置，然后依次向下查找每一行是否满足条件。

总结

本篇文章介绍了如何使用 Python 程序查找所有填充为 0 的矩形。需要注意的是，该方法只能处理填充为 0 的矩形，无法处理其他类型的填充情况。但我们可以通过对程序稍加修改来处理其他情况的填充矩形。