将矩阵顺时针方向旋转 90 度而不使用任何额外空间

本文将介绍一种将矩阵顺时针方向旋转 90 度的方法，且不使用任何额外空间。该方法的时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。

解决思路

我们可以先将矩阵沿着左下到右上的对角线翻转，然后再将矩阵沿着中心水平线翻转。步骤如下：

1. 对角线翻转。

   • 从第一行第一列开始往右下遍历矩阵，对于每个元素 $A[i][j]$，将其与 $A[j][i]$ 交换。
   • 例如，对于如下矩阵：

     1 2 3
     4 5 6
     7 8 9
     

     经过对角线翻转后，变成了：

     1 4 7
     2 5 8
     3 6 9
     

2. 中心水平线翻转

   • 从矩阵第一行开始往下遍历，对于每一行 $A[i]$，将其与 $A[N-i-1]$ 交换。
   • 例如，对于如下矩阵：

     1 4 7
     2 5 8
     3 6 9
     

     经过中心水平线翻转后，变成了：

     7 4 1
     8 5 2
     9 6 3
     

代码实现

def rotate(matrix):
    n = len(matrix)
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
    for i in range(n):
        for j in range(n//2):
            matrix[i][j], matrix[i][n-j-1] = matrix[i][n-j-1], matrix[i][j]

测试

我们可以写一个测试函数来验证一下代码的正确性。

def test_rotate():
    matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
    rotate(matrix)
    assert matrix == [[7, 4, 1], [8, 5, 2], [9, 6, 3]]

    matrix = [[5]]
    rotate(matrix)
    assert matrix == [[5]]

总结

本文介绍了一种将矩阵顺时针方向旋转 90 度的方法，且不使用任何额外空间。这种方法的时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。