查找波峰

在给定数组的索引范围 [L, R] 中是否存在波峰，是一个典型的数组问题。本文将介绍如何解决这个问题。

问题描述

定义数组中的一个数为波峰，当且仅当该数既大于其左侧的数，也大于其右侧的数。给定一个整数数组 nums 和两个整数 L 和 R，请写一个函数来判断在给定的索引范围 [L, R] 中是否存在波峰。

如下图所示，数字 5 就是一个波峰。

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解决方案

方法一：暴力枚举

最直观的方法是暴力枚举，对于每个数，判断它是否满足波峰的定义。时间复杂度为 $O(n)$。

def has_peak(nums, L, R):
    for i in range(L+1, R):
        if nums[i] > nums[i-1] and nums[i] > nums[i+1]:
            return True
    return False

方法二：二分查找

由于问题具有单调性，我们可以考虑使用二分查找来优化算法。具体地，我们可以先找到数组中间的位置 mid，然后比较 mid 与其相邻的两个数的大小，如果 nums[mid] > nums[mid-1] 且 nums[mid] > nums[mid+1]，则 nums[mid] 为波峰。否则，如果 nums[mid-1] < nums[mid] < nums[mid+1]，我们可以肯定，在 mid 左侧一定存在波峰（因为它已经满足单调递增），同理，在 mid 右侧也一定存在波峰。因此，我们可以对左侧或右侧进行递归查找。时间复杂度为 $O(\log n)$。

def find_peak(nums, L, R):
    if L == R:
        return L
    mid = (L + R) // 2
    if nums[mid] > nums[mid+1]:
        return find_peak(nums, L, mid)
    else:
        return find_peak(nums, mid+1, R)

def has_peak(nums, L, R):
    peak = find_peak(nums, L, R)
    return peak >= L and peak <= R

总结

本文给出了两种解法，一种是暴力枚举，时间复杂度为 $O(n)$，另一种是二分查找，时间复杂度为 $O(\log n)$。对于本问题，二分查找的效率更高，但在有些情况下，暴力枚举更容易实现，也更易于理解。我们需要在实际应用中灵活选择合适的算法，以最优化时间和空间复杂度。