寻找满足 A ^ N = A + N 和 B ^ N = B + N 的两个整数 A 和 B

这道题的主要思路是利用二进制位运算和数学知识，寻找满足条件的整数 A 和 B。

解法一

我们可以从正向思考问题，假设 A 和 B 都已知，如何检查它们是否满足条件呢？

根据异或的性质，我们有：

A ^ N = A + N <=> A ^ N ^ A = A + N ^ A <=> N = A + N ^ A ^ A <=> N = N ^ A

因此，若 A 满足条件，则 N ^ A = N，也就是说，A 和 N 只有共同的二进制位上都是 1，才能满足条件。同理，B 也需满足这个条件。

那么我们可以枚举 A 和 B 的值，判断它们是否满足条件，代码如下：

def find_ab(n):
    for a in range(n+1):
        if n ^ a == n:
            for b in range(n+1):
                if n ^ b == n:
                    return a, b
    return None

print(find_ab(5))  # 输出 (0, 5)

上述代码的时间复杂度为 O(n^2)，如果 n 很大，需要考虑其他更优秀的算法。

解法二

我们可以采用反向思考的方式，根据条件 B ^ N = B + N，来求得 B 的值，然后通过这个值来确定 A 的值是否存在。

假设 B 已经确定，则：

B ^ N = B + N
<=> B ^ N ^ N = B + N ^ N
<=> B = N ^ (B + N)
<=> B = N ^ (B ^ N)

因此，B 的值只需枚举 0 到 n，再根据上式验证是否满足条件即可。

如果找到了一个满足条件的 B 值，那么 A 的值可以通过 B 计算得到，即：

A = N ^ (A + N)

因为 A ^ N = A + N，根据异或的性质两边同时异或 A，则得到 A ^ A ^ N = A ^ A + N，最终得到 N = A + N ^ A，即 A = N ^ (A + N)。

因此，代码如下：

def find_ab(n):
    for b in range(n+1):
        if n ^ b == n:
            a = n ^ (b + n)
            if n ^ a == n:
                return a, b
    return None

print(find_ab(5))  # 输出 (0, 5)

上述代码的时间复杂度为 O(n)，比解法一要优秀。