门| GATE 2017 MOCK II |问题19

本题是Gate 2017 Mock II的第19题，是一道算法题，需要我们实现将一棵树拆分为相等的两个子树。

题目描述

给定一棵有n个结点的树，每个结点有一个权重w(i)，我们需要将这棵树剖分成两个子树，要求这两个子树的权重和相等。如果无法拆分，则输出-1。

解题思路

树的拆分，可以转化为树的划分问题，使用动态规划解决。

定义状态：$dp_{i,j}$ 表示以节点 $i$ 为根的子树中，选取的若干个结点的权重和是否可以为 $j$。

状态转移方程：$dp_{i,j}=\max(dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-w(i)}+w(i))$

可以理解为，对于以 $i$ 为根的子树，我们可以将其划分为两部分，其中一部分包含 $i$ 结点，权重和为 $w(i)$，另一部分是以 $i$ 的子树为根的子树，权重和为 $j-w(i)$，判断其中是否有一个部分的权重和为 $j$ 即可。

最终我们需要选择权重和为 $\frac{\sum w(i)}{2}$ 的状态，判断其是否有任意一个状态为 $\frac{\sum w(i)}{2}$ 即可。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现

def solve_dp(n, w):
    if sum(w)%2 == 1:    # 如果总权重为奇数，则无法拆分
        return -1
    s = sum(w)//2
    dp = [[False for j in range(s+1)] for i in range(n+1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = True
        for j in range(1, s+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if w[i-1] <= j:
                dp[i][j] |= dp[i-1][j-w[i-1]]
    if dp[n][s]:    # 如果存在权重和为s的状态，则可以拆分
        return 1
    else:
        return -1

返回的是一个函数，输入分别为节点数和每个节点的权重列表，输出为是否可以将树拆分为权重和相等的两个子树。如果可以，则返回 1，否则返回 -1。

代码片段为python格式，可以自行修改为其他语言。