最长递增子阵

最长递增子阵（Longest Increasing Submatrix）是指在一个给定的矩阵中，找到一个尽可能大的部分矩阵，使得这个部分矩阵中的元素按照递增的顺序排列。这在图形识别、数据分析等领域都有广泛的应用。

解法

最长递增子阵问题可以转化为最长递增子序列问题。对于矩阵中每一列，将其转化为一个序列，然后对每个序列求解最长递增子序列。取这些最长递增子序列的最长者即为最长递增子阵的长度。

线性复杂度解法

最长递增子序列有一种线性复杂度的解法——Patience Sorting。该算法基于纸牌游戏，将元素视为一堆牌，按照一定的规则搭建纸牌堆，然后利用二分查找的方式进行排序并求解最长递增子序列。该算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成。

动态规划解法

最长递增子序列还可以使用动态规划解决。设dp[i]表示以元素i作为结尾的最长递增子序列长度，则有：

dp[i] = max(dp[j]+1), j<i且a[j]<a[i]

即dp[i]等于所有小于i且值比a[i]小的元素的dp值最大值加1。最终的最长递增子序列长度就是所有dp[i]中的最大值。这种解法的时间复杂度为O(n^2)。

代码实现

Patience Sorting

def LIS(nums):
    tails = []
    # 对于每个元素
    for num in nums:
        # 二分查找插入位置
        left, right = 0, len(tails)
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            if tails[mid] < num:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        # 替换或添加
        if left == len(tails):
            tails.append(num)
        else:
            tails[left] = num
    return len(tails)
 
def LIS_matrix(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    ans = 0
    nums = [0] * m
    # 对于矩阵的每一列
    for i in range(m):
        # 将当前列转化为序列
        for j in range(n):
            nums[j] = matrix[j][i]
        # 求解最长递增子序列
        ans = max(ans, LIS(nums))
    return ans

动态规划

def LIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

def LIS_matrix(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    ans = 0
    nums = [0] * n
    # 对于矩阵的每一列
    for i in range(m):
        # 将当前列转化为序列
        for j in range(n):
            nums[j] = matrix[j][i]
        # 求解最长递增子序列
        ans = max(ans, LIS(nums))
    return ans

总结

最长递增子阵问题可以转化为最长递增子序列问题，而最长递增子序列又可以使用Patience Sorting或者动态规划等算法解决。对于Patience Sorting算法，其时间复杂度为O(nlogn)，而动态规划的时间复杂度为O(n^2)。在实际应用中，应该根据问题规模和时间复杂度的要求选择合适的算法。