二叉树中指数路径的计数

介绍

在二叉树中，指数路径定义为从根节点到叶子节点的路径上，其节点的权值按二进制表示后，形成的数字是一个指数。比如，若一条路径上节点的权值依次为1、2、3，那么这条路径形成的数字为0b101，即十进制的5，那么5就是这条路径的权值之和。

给定一棵二叉树，我们需要计算其中的指数路径的数量。

算法实现

为了实现上述功能，我们可以采用递归的方式，从每个节点出发，对其左右子树分别计算指数路径数量，然后统计经过该节点（将该节点作为路径的一部分）的路径数量。统计路径数量需要考虑到组合，即对于所有具有相同权值之和的节点，取任意两个将它们加起来依然得到该权值之和的节点，组合起来得到的所有路径都是符合要求的。

在具体实现时，我们可以使用一个哈希表来记录从根节点到当前节点的路径上，每个权值之和出现的次数。递归时，我们先将当前节点的权值添加到哈希表中已有的数中，然后递归计算左右子树的指数路径数量，最后统计当前节点能够提供的路径数量，将其加到全局计数器中即可。

下面是Python实现代码片段：

class Solution:
    def countPairs(self, root: Optional[TreeNode], distance: int) -> int:
        # 定义计数器，哈希表和路径数组
        self.count = 0
        self.path_dict = {}
        self.path = []

        # 递归计算指数路径数量
        def dfs(root):
            if not root:
                return
            # 将当前节点的权值添加到路径数组中
            self.path.append(root.val)
            # 计算从根节点到此节点，每个权值之和出现的次数
            cnt = [0] * 25
            prefix_sum = 0
            for num in reversed(self.path):
                prefix_sum += num
                cnt[prefix_sum] += 1
            # 记录此节点到根节点的路径上，每个权值之和出现的次数
            for i in range(25):
                if cnt[i] != 0:
                    self.path_dict[i] = self.path_dict.get(i, 0) + cnt[i]
            # 递归计算左右子树
            dfs(root.left)
            dfs(root.right)
            # 移除已经遍历过的节点
            self.path.pop()
            # 若当前节点是叶子节点，则遍历完一条根到叶子的路径，统计路径数量
            if not root.left and not root.right:
                for i in range(distance):
                    # 统计组合后权值之和为i的路径数量
                    if i in self.path_dict:
                        for j in range(i+1, distance+1):
                            if j-i-2 >= 0 and j-i-2 in self.path_dict:
                                self.count += self.path_dict[i] * self.path_dict[j-i-2]
        # 从根节点开始递归
        dfs(root)
        return self.count

总结

本题主要考察了二叉树的遍历和哈希表的使用，对于递归的实现细节要求也比较高。初学者可以先从单纯的遍历、哈希表和递归入手，逐步增加功能实现的复杂度。