数组的两个子集之和的最大可能差

问题描述

给定一个整数数组 nums，将该数组划分成两个非空子集，使得两个子集的元素和之差的绝对值最大化。输出这个最大的差值。注意，每个数组中的元素不能变。

问题分析

这是一道经典的背包问题。我们可以将这个问题转换为：如何从一个整数数组中找到一个子集，其元素和最接近该数组元素和的一半。

首先，我们需要计算出整个数组的和。 然后，我们可以使用一个动态规划算法来计算可达到的每个总和。 在这种情况下，dp [i] [j] 表示是否可以获得总和为j的子集，其中i是数字数组的索引。

解法一

思路：动态规划

时间复杂度：$O(n * m)$

def findMaxDiff(nums):
    total = sum(nums)
    n = len(nums)
    dp = [[False] * (total // 2 + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = True

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, total // 2 + 1):
            if j < nums[i - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]

    for j in range(total // 2, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            return total - 2 * j

print(findMaxDiff([1, 6, 11, 5]))

解法二

思路：01背包问题，用滚动数组优化空间

时间复杂度：$O(n * m)$

def findMaxDiff(nums):
    total = sum(nums)
    n = len(nums)
    res = [False] * (total // 2 + 1)
    res[0] = True

    for i in range(n):
        for j in range(total // 2, nums[i] - 1, -1):
            res[j] |= res[j - nums[i]]

    for j in range(total // 2, -1, -1):
        if res[j]:
            return total - 2 * j

print(findMaxDiff([1, 6, 11, 5]))

以上是两种解法，都是动态规划，但是第二种使用了滚动数组来优化空间。

总结

这道问题是一道经典的背包问题，使用动态规划算法可以较为简单地解决。 两种解法都是基于动态规划的，但优化了空间的解法相对较为简单。