寻找不相交范围的算法

在许多应用场景中，需要在一组范围中找到一个方向，从而使得这些范围之间不会相交。在这篇文章中，我们将介绍一种基于排序和线性扫描的算法，可以有效地解决这个问题。

问题描述

我们假设有 $n$ 个非空的范围 $R_1, R_2, ..., R_n$，其中 $R_i$ 包含从 $L_i$ 到 $R_i$ 的数轴上的所有点。我们需要找到一些方向 $d$，使得将所有 $R_i$ 沿着 $d$ 方向移动到数轴上不会出现重叠的情况。

算法

我们可以按照范围的左端点将这 $n$ 个范围排序。具体来说，我们将 $R_1, R_2, ..., R_n$ 按照 $L_1 \leq L_2 \leq ... \leq L_n$ 的顺序排序。

接下来，我们定义一个指针 $p$，初始时指向 $R_1$，表示当前选择的方向 $d$。我们还将定义一个右端点 $r$，初始时等于 $R_1$ 的右端点 $R_1$。

现在，在每个步骤中，我们考虑将指针 $p$ 向右移动一个位置。如果 $R_{p+1}$ 与 $[L_1, r]$ 相交，则我们需要将 $r$ 更新为 $max{r, R_{p+1}}$。否则，我们就找到了一个不相交的方向：$d=[L_1, R_{p+1}]$。

证明

我们需要证明此算法可以找到一个不相交的方向。我们假设存在一个方向 $d$，使得 $R_i$ 沿着 $d$ 移动会相互重叠。我们选择 $d$ 是使得 $R_i$ 中最左边的点在 $d$ 上。也就是说，我们假设 $l=\min{ L_i | R_i\text{ 沿着 } d \text{ 移动会与其他范围相交}}$。

现在，我们假设 $p$ 是最小的整数，满足 $L_{p+1} \geq l$。因为按 $L_i$ 排序并没有改变 $R_i$ 相对于 $d$ 的位置，所以我们知道 $R_p$ 和 $R_{p+1}$ 沿着 $d$ 移动会相互重叠。然而，我们又注意到 $R_{p+1}$ 与 $[L_1,r]$ 相交。这表明 $R_{p+1}$ 与 $R_p$ 相交，这与我们的假设矛盾。因此，我们得到了一个不相交的方向。

代码

def find_non_overlapping_direction(ranges):
    """
    返回一个不相交的方向

    Args:
        ranges: 一维范围列表，每个范围表示为 (left, right) 元组

    Returns:
        一个不相交的方向，表示为 (left, right) 元组。如果不存在这样的方向，则返回 None。
    """
    sorted_ranges = sorted(ranges)
    r = sorted_ranges[0][1]
    for i in range(1, len(sorted_ranges)):
        if sorted_ranges[i][0] <= r:
            r = max(r, sorted_ranges[i][1])
        else:
            return (sorted_ranges[0][0], sorted_ranges[i][0])
    return None

总结

在这篇文章中，我们介绍了一种基于排序和线性扫描的算法，可以寻找一组范围中的不相交方向。这种算法具有简单、高效、易于实现的特点，因此在许多应用程序中被广泛使用。