最长增加的绝对偶数子序列的长度

介绍

在一个整数序列中，如果一个子序列的每个元素相对于前一个元素都是增加的，并且该子序列中的每个元素都是偶数，并且差的绝对值是递增的，则称该子序列为“绝对偶数子序列”。

这个算法需要解决的问题是：如何找到一个数组中的最长的绝对偶数子序列的长度。

我们将在本文中讨论两种算法：贪心算法和动态规划算法。

贪心算法

在此算法中，我们将遍历该数组并尝试找到连续的绝对偶数子序列。对于每个绝对偶数子序列，我们会记录其长度，并在整个过程中保持最大长度的记录。在遍历完整个数组后，我们会返回最大记录的值。

贪心算法的实现如下：

def longest_absolute_even_subsequence(arr):
    if not arr:
        return 0
    
    n = len(arr)
    longest = 0
    start = 0
    
    for i in range(1, n):
        if arr[i] % 2 == 0 and abs(arr[i] - arr[i-1]) % 2 == 0:
            continue
        
        if arr[i] % 2 == 0:
            length = i - start
            longest = max(longest, length)
        
        start = i
    
    if arr[n-1] % 2 == 0:
        length = n - start
        longest = max(longest, length)
    
    return longest

上述代码片段中，我们使用变量start来记录当前绝对偶数子序列的起始位置。我们每次遍历到一个新元素时，检查它是否为偶数，并与前一个元素的差值的绝对值是偶数。如果是，我们将进一步增加该子序列的长度。如果不是，则当前子序列结束，并将其长度与longest变量中记录的最长子序列的长度进行比较，如果大于当前子序列，则将longest变量更新为该值。

动态规划算法

动态规划算法是一种更为通用的方法，可以解决更多的问题类型。在此算法中，我们将使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在字符的前$i$个元素中，以第$i$个元素结尾的绝对偶数子序列的长度，且其差的绝对值为$j$。

动态规划算法的实现如下：

def longest_absolute_even_subsequence(arr):
    if not arr:
        return 0
    
    n = len(arr)
    dp = [[0] * (n+1) for i in range(n+1)]
    
    longest = 0
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i):
            if arr[i-1] % 2 == 0 and abs(arr[i-1] - arr[j-1]) % 2 == 0:
                dp[i][abs(arr[i-1] - arr[j-1])] = max(dp[i][abs(arr[i-1] - arr[j-1])], dp[j][abs(arr[i-1] - arr[j-1])] + 1)
                longest = max(longest, dp[i][abs(arr[i-1] - arr[j-1])])
    
    return longest

上述代码片段中，我们使用两个循环变量来遍历每个元素。对于每个元素$i$和存在的所有元素$j$，我们检查它们之间的差值的绝对值是否为偶数。如果是，则我们可以将它们合并为一个绝对偶数子序列。并且，我们把当前绝对偶数子序列的长度加1。如果这个新的长度大于之前记录的最长值，则我们要更新‘longest’变量。