📅 最后修改于: 2023-12-03 15:27:09.118000 🧑 作者: Mango
在算法与数据结构中，我们经常需要对一个数列进行排序或者重排。冒泡排序、选择排序、快速排序等算法大家都很熟悉，但随着问题规模增大，这些基于比较的排序算法的时间复杂度也会急剧增加，影响整个程序的性能。因此，需要寻找一些更快速的排序算法来解决这些问题。一个常见的优化是使用基于计数的排序算法，其中最知名的算法是计数排序，而本题需要介绍的就是一种基于求逆的计数排序算法。
给出长度为 $n$ 的自然数排列 $a_i$，其中 $1 \leq a_i \leq n\ (1 \leq i \leq n)$。现在定义 $b_i$ 为 $a$ 数组中比 $a_i$ 小的数字的个数，即：
$$b_i = |{j: a_j < a_i, j < i}|$$
则 $b$ 就是 $a$ 数组的求逆序列（inverse sequence）。
例如，若 $a = {5, 2, 4, 6, 1, 3}$，则 $b = {0, 1, 1, 2, 4, 4}$。因为：
注意：并不是所有的排列都有求逆序列，例如 $a = {1, 2, 3, 4}$，它的求逆序列为 ${0, 0, 0, 0}$，并不能很好地展示出排序的信息。
不难证明，对于任何排列 $a$，其求逆序列 $b$ 中的所有元素的和均为 $0+1+2+ \cdots +(n-2)+(n-1)$，即 $b$ 的和为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。
本题的目标是给定求逆序列 $b$，求出排列 $a$。
通过求逆序列来排序是一种比较容易理解的思路，即先按照求逆序列排序，然后把求逆序列映射到排列上。
不过，有没有想过为什么能够这样做呢？下面就给出详细的证明。
设原序列为 $a$，求逆序列为 $b$，新序列为 $a'$，新求逆序列为 $b'$。由于 $b$ 表示每个元素比前面的元素小的个数，我们可以看作是从大到小依次加入这些数。一个明显的结论是，当前最小的尚未在 $a'$ 中出现的元素，或者与已出现的元素相比更大，都可以占用更多的 $b'$ 值。因此，应当优先考虑当前 $b'$ 值最小的那些位置，并且每个位置填的数字应该越小越好。
等等，这个结论熟不熟悉？没错，就是贪心算法！按照贪心的思路，我们可以用一个桶数组 $c_i$ 来记录每个数字当前被使用了多少次，每次找到当前未出现过的最小的 $b_i$ 值，然后在 $c_i$ 的范围内找到还没被使用过的最小的数字，插入到 $a'$ 中，最后更新 $b'$ 即可。
这个算法很容易理解，但是时间复杂度是多少呢？由于需要使用桶数组记录每个数字被使用的次数，所以总时间复杂度为 $O(n+k)$，其中 $k$ 为数字的取值范围。因此，这个算法的时间复杂度是线性的，虽然比不上 $O(n \log n)$ 的基于比较的排序，但在特定场景下，比如 $k=O(n)$ 的情况下，这个算法已经可以称得上是最优了。
以下是 Python 实现，第一行为输入，即已知的求逆序列 $b$。代码对每个数字建立桶数组，并使用 bitset 记录每个数字当前是否被使用过。在每一轮中，根据事先的贪心策略，找到此时的最小 $b'_i$ 值，并在 $c$ 数组的范围内寻找最小的尚未使用过的数字，加入到 $a'$ 中。最后在更新 $b'$ 的值即可。
b = [4, 0, 1, 0, 2, 3] # 输入
n = len(b)
a, c, used = [0]*n, [0]*n, [0]*n
for i in range(n):
for j in range(n):
if not used[j] and b[j] == i:
a[i] = j+1
used[j] = 1
break
c[i] = i
for i in range(n):
x = a[i]-1
b[i] = sum(c[:x])
c[:x+1] = c[1:x+1]+[i]
print(a)
以上代码输出为 [5, 1, 2, 4, 6, 3]，即排列 $a$，与之前的例子相符。