二项式系数的平方和

简介

在组合数学中，二项式系数是用于展开二项式 $(a+b)^n$ 的系数。它们通常被表示为 $\binom{n}{k}$，读作“$n$ 选择 $k$”。

二项式系数的平方和是指一定正整数 $n$ 的所有二项式系数的平方之和，即 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$。

该问题有一个著名的卡特兰数解，即 $\binom{2n}{n}/(n+1)$。

常规解法

直接计算

最直接的解法就是直接使用组合数的公式计算平方和，即 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。

def binomial_coefficient_square_sum(n):
    res = 0
    for k in range(n+1):
        res += comb(n, k)**2
    return res

利用递推式

另一种解法是利用二项式系数的递推式进行计算。具体地，我们有 $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$，从而可以得到以下递推式：

$$\binom{n}{k}^2=\binom{n-1}{k-1}\binom{n+1}{k+1}$$

然后可以根据递推式进行动态规划计算。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

def binomial_coefficient_square_sum(n):
    dp = [1] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i-1, 0, -1):
            dp[j] = dp[j-1] + dp[j]
        dp[i] = dp[i-1] * 2
    return dp[-1]

特殊解法：卡特兰数

通过卡特兰数的性质，我们可以直接得到二项式系数的平方和的卡特兰数解：

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}/(n+1)$$

该算法的时间复杂度为 $O(1)$，空间复杂度为 $O(1)$。

def binomial_coefficient_square_sum(n):
    return comb(2*n, n) // (n+1)

总结

通过递推式和卡特兰数的特殊性质，我们可以得到二项式系数的平方和的多种解法。在实际应用中，可以根据具体场景选择不同的算法。