中央二项式系数

中央二项式系数是组合数学中常见的一类二项式系数，被称为中央系数，通常用符号 $C_n$ 表示。

定义

中央二项式系数可以用下列递推式来定义：

$$C_0=1,\ \ \ \ C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \binom{n}{k+1}=\frac{1}{2}(2n+1)\binom{2n}{n+1}$$

其中 $n$ 为任意正整数。

性质

中央二项式系数具有以下性质：

1. 对称性：$C_n=C_{2n-n}$，即中央系数是关于中心对称的；
2. 中央系数具有“组合”意义：$C_n$ 表示 $2n$ 个球中选择 $n+1$ 个球，其中必须选一个为黑球，且黑球的选法只有一种，其余的白球任选；
3. 中央系数具有“平衡”意义：每个黑球左边的白球个数等于黑球右边的白球个数。

应用

中央二项式系数在组合数学、概率论、统计学等领域都有应用。其中，由于中央系数的“平衡”性质，它在二行排列的生成函数中起着重要的作用；同时，在二项式分布与正态分布之间联系中，中央系数也具有重要的地位。

示例代码

import math

def central_binomial_coefficient(n):
    """
    计算中央二项式系数的值
    :param n: 正整数
    :return: 中央系数 C(n)
    """
    return int((1 / 2) * (2 * n + 1) * math.comb(2 * n, n + 1))

# 示例
print(central_binomial_coefficient(5)) # 输出：6