计算N次幂的奇偶二项式系数

什么是奇偶二项式系数？

奇偶二项式系数是指形如 $C_n^0 - C_n^2 + C_n^4 - \cdots + (-1)^n C_n^n$ 的数列，其中 $C_n^k$ 表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数。

如何计算N次幂的奇偶二项式系数？

通过变形可以得到奇偶二项式系数的通项公式为：

$$ (-1)^k C_n^{2k} = (-1)^k \frac{n!}{(2k)!(n-2k)!} $$

因此，我们可以编写一个函数来计算 $n$ 次幂的奇偶二项式系数：

def calc_odd_even_binomial_coefficient(n):
    ans = []
    for k in range(n+1):
        if k % 2 == 0:
            ans.append(comb(n, k))
        else:
            ans.append(-1 * comb(n, k))
    return ans

其中，comb 函数是 Python 自带的库函数，用于求组合数。

代码说明

该函数的输入值为一个整数 $n$，代表需要计算 $n$ 次幂的奇偶二项式系数。

函数会遍历 $k$，对于 $k$ 是偶数的项，直接使用 comb 函数计算组合数，对于 $k$ 是奇数的项，则取相反数后再通过 comb 函数计算组合数。

最终，函数会返回一个列表，其中第 $k$ 个元素为 $(-1)^k C_n^{2k}$。

示例

我们可以尝试将函数应用到不同的 $n$ 值上，来计算相应的奇偶二项式系数。

比如，对于 $n=5$，我们可以使用以下代码来计算对应的奇偶二项式系数：

ans = calc_odd_even_binomial_coefficient(5)
print(ans)

输出结果为：

[1, -5, 10, -10, 5, -1]

这意味着 $(-1)^0 C_5^0 - (-1)^1 C_5^2 + (-1)^2 C_5^4 - (-1)^3 C_5^6 + (-1)^4 C_5^8 - (-1)^5 C_5^{10} = 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$，符合奇偶二项式系数的性质。

总结

本文介绍了如何计算 $n$ 次幂的奇偶二项式系数，并给出了相应的 Python 代码。通过该函数，我们可以快速计算出需要的奇偶二项式系数，并应用到相关问题中。