范围内数字不超过 K 个非零数字的计数

介绍

这个主题的要求是在给定的范围内找到不超过 k 个非零数字的数字，并返回计数。这个主题可以用于许多问题，如寻找在一定范围内的质数或计算一个数的因子数等等。

解决方案

一个简单的解决方案是对每个数字进行检查，并计算其中的非零数字数。但这个方法需要检查大量的数字，因此会导致性能问题。

更有效的方法是使用动态规划。我们可以使用一个二维数组，其中每一行代表一个数字，每一列代表它包含的非零数字数。使用数位分解方法，递推式如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] * (i的当前数位上是否为0）

其中 i 代表当前数字，j 代表当前数字中的非零数字数，dp[i][j] 是在范围 [i-10, i] 内数字非零数字数等于 j 的计数。

代码实现

def count_k_nonzero_numbers(n, k):
    # 将数字转化为字符串
    s = str(n)
    # 初始化二维数组
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(len(s) + 1)]
    # 初始化第一行
    dp[0][0] = 1
    # 依次计算每一位数字
    for i in range(1, len(s) + 1):
        # 当前数字
        num = int(s[i-1])
        # 更新每一列
        for j in range(k + 1):
            # 当前列计数
            cnt = dp[i-1][j]
            # 当前列中递推式的第二项
            cnt2 = dp[i-1][j-1] if j > 0 else 0
            # 将结果放入当前列
            dp[i][j] = cnt + cnt2 * (num > 0)
    # 返回范围内数字非零数字数不超过 k 的计数
    return sum(dp[-1])

性能

由于使用动态规划，该算法的时间复杂度为 O(nk)，其中 n 是数字的位数，k 是要找到的非零数字数。空间复杂度为 O(nk)。在一定范围内，该算法的性能表现较好。