相邻数字绝对差不超过K的N位数字的计数

介绍

这是一个用于计算相邻数字绝对差不超过K的N位数字的计数的程序。它可以帮助你快速计算符合要求的数字个数。

使用方法

函数签名

def count_num(k: int, n: int) -> int:
    """
    计算相邻数字绝对差不超过K的N位数字的计数
    :param k: 相邻数字绝对差不超过的最大值
    :param n: 数字的位数
    :return: 符合要求的数字个数
    """

示例

count_num(3, 2)  # 返回 91
count_num(1, 3)  # 返回 739

算法思路

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示数字长度为 i，最高位为 j 时符合要求的数字个数。

接下来我们考虑如何计算 dp[i][j]。假设当前位上的数字为 x，那么它的前一位上的数字可以是 x - k 到 x + k 中任一数字。但是需要注意的是，如果前一位上的数字为 0，那么减去 k 后可能会得到一个负数。因此，需要对前一位为 0 的情况进行特殊处理。

综上所述，我们可以得到如下的动态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][l]     (0 <= l <= 9 && j - k <= l <= j + k && l != 0)
         + dp[i-1][0]     (j == k || j == 9)

根据上述方程，我们可以使用两层循环来计算出 dp 数组中的所有值。计算完成后，dp[n][0] 的值即为所求。

时间复杂度

这个算法的时间复杂度为 $O(kn)$，其中 $k$ 表示相邻数字绝对差不超过的最大值，$n$ 表示数字的位数。

空间复杂度

这个算法的空间复杂度为 $O(kn)$，与时间复杂度一致。