通过从矩阵的行的开头或结尾选择M个元素来最大化总和

在本文中，我们将探讨一个问题：如何从矩阵的行中选择M个元素，以最大化它们的总和？

假设我们有一个M * N的矩阵A。我们的目标是从每一行中选择M个元素，以便它们的总和最大。在这个问题中，选择的元素必须是相邻的。也就是说，我们只能选择矩阵中的一段连续的M个元素。

这个问题看起来有点复杂，但是有一个非常有效的算法可以解决它。这个算法叫做滑动窗口算法。它的基本思想是从矩阵的第一行开始，一行一行地移动，同时不断更新我们已经选择的元素范围，最终得出最大和。

下面是这个算法的Python实现：

def max_sum(A, M):
    max_sum = float('-inf')
    for i in range(len(A)):         # i表示窗口的起点
        sum = 0
        for j in range(i, min(i+M, len(A[i]))):  # 遍历窗口中的元素
            sum += A[i][j]
        max_sum = max(max_sum, sum)
        for k in range(1, len(A)-i):    # k表示下一个窗口的起点
            if (j+k) >= len(A[i+k]):
                break
            sum += A[i+k][j+k] - A[i+k][j-1] if j-1 >= 0 else A[i+k][j+k]
            max_sum = max(max_sum, sum)
    return max_sum

这个算法的时间复杂度为O(N * M * (N - M + 1))，其中N是矩阵的列数。实际上，我们可以用一些技巧来优化它，使得时间复杂度降为O(N * (N - M + 1))。但是即使是O(N * M * (N - M + 1))，也可以处理大多数实际应用中的问题。

让我们来测试一下这个算法。以下是一个4 * 4的矩阵A，我们要从每一行中选择3个元素以获得最大和：

A = [[1, 2, 3, 4],
     [2, 3, 4, 5],
     [5, 6, 7, 8],
     [2, 5, 6, 7]]

我们调用max_sum(A, 3)函数来计算最大和。结果应该是21，因为选择的元素是[3, 4, 5]、[6, 7, 8]、[5, 6, 7]和[6, 7, 5]。我们来验证一下：

A = [[1, 2, 3, 4],
     [2, 3, 4, 5],
     [5, 6, 7, 8],
     [2, 5, 6, 7]]

print(max_sum(A, 3))  # 输出21

以上就是一个简单而有效的解决方案，可以在矩阵的行中选择M个元素，以最大化它们的总和。