通过从矩阵的行的开头或结尾选择M个元素来最大化总和

介绍

这个问题可以用贪心算法来解决。我们可以找到一个规律，每个元素的位置会影响最终的结果。 如果我们想要找到最大的和，我们需要找到一条合适的路径，贪心地选择当前行的开头和结尾是最佳策略之一。

假设矩阵有$N$行和$M$列，我们可以建立一个包含$N$个元素的列表，表示每一行所选的元素方案。设$f(i,j)$表示前$i$行，选$j$个元素的最大和。当我们想要构建第$i+1$行时，我们只需要查询$f(i,j-1),f(i,j),f(i,j+1)$这三个状态中的最大值，并将其与第$i+1$行结尾和开头的元素相加。将状态转移方程推广到整个矩阵，得到最终的结果。

算法

def max_sum(matrix, M):
    max_sum_list = [0] * len(matrix)
    for i, row in enumerate(matrix):
        left_sum, right_sum = 0, 0
        value_list = []
        for j in range(M):
            left_sum += row[j]
            right_sum += row[-j - 1]
            value_list.append(max_sum_list[i - 1] + max(left_sum, right_sum))
        max_sum_list = value_list
    return max_sum_list[-1]

输入说明

• matrix: 表示矩阵的一个列表，其中每个元素是一个长度为$M$的列表，表示该矩阵的一行。
• M: 表示选取的元素个数。

输出说明

返回值类型为整数，表示通过从矩阵的行的开头或结尾选择$M$个元素，可以得到的最大和。

示例

matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
M = 2
print(max_sum(matrix, M)) # 输出16

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(NM)$，其中$N$是矩阵的行数，$M$是选取的元素个数。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为$O(N)$，其中$N$是矩阵的行数。我们需要保存前$i$行选取$j$个元素时的最大和，以便计算第$i+1$行的最大和。