打印最长的双子序列

双子序列（Twin Sequences）是由两个相同的序列组成的序列对（Sequence Pair）。例如，序列对 $(1, 2)$ 和 $(2, 1)$ 是长度为 2 的双子序列。

我们的任务是给定一个由任意长度的正整数组成的序列，找到一个最长的双子序列并打印出来。

思路

一个朴素的想法是，我们可以通过枚举来找到每一个可能的双子序列，然后取其中长度最长的一个。但这样的时间复杂度非常高，是指数级别的，不适用于较长的序列。因此，我们需要寻找更高效的算法。

一种常见的做法是动态规划。我们可以定义 $dp(i,j)$ 表示前 $i$ 个元素和前 $j$ 个元素所构成的序列的最长双子序列的长度。如果第 $i$ 个元素和第 $j$ 个元素相等，则这两个元素可以匹配，此时有：

$$ dp(i,j) = dp(i-1, j-1) + 1 $$

如果第 $i$ 个元素和第 $j$ 个元素不相等，则这两个元素必须分别跟它们的前一个元素组成双子序列（如果存在的话），此时有：

$$ dp(i,j) = \max(dp(i-1,j),dp(i,j-1)) $$

最终的答案就是 $dp(n,n)$，其中 $n$ 是序列的长度。同时，我们可以通过 dp 数组中存储的信息来还原出最长的双子序列。

代码实现

下面是基于动态规划思想的 Python 实现：

def findLongestTwinSequence(seq):
    n = len(seq)
    dp = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            if seq[i-1] == seq[j-1] and i != j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    ans = []
    i, j = n, n
    while i > 0 and j > 0:
        if seq[i-1] == seq[j-1] and i != j:
            ans.append(seq[i-1])
            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    ans.reverse()
    return ans

示例

我们来看一个例子：

>>> seq = [2, 5, 2, 1, 3, 5]
>>> findLongestTwinSequence(seq)
[2, 5]

这里，最长的双子序列是 [2, 5]，长度为 2，并且有两种不同的组合方式：$(1, 2)$ 和 $(3, 6)$。

总结

本文介绍了如何寻找一个序列中的最长双子序列。我们通过动态规划的方法，使时间复杂度从指数级别降到了 $O(n^2)$。同时，我们还给出了如何通过 dp 数组中存储的信息来还原出最长的双子序列。