大小为3的双子序列的最大乘积

介绍

双子序列是由两个长度相同的子序列轮流组成的序列。在一个给定的序列中，找到长度为3的两个不相交的子序列，使它们的乘积最大。该问题可以通过暴力搜索所有可能的子序列进行解决，但效率非常低。在本文中，我们将介绍一种更高效的解决方案。

算法

本算法基于动态规划和贪心算法。

首先，我们需要找到最小的三个数字和最大的三个数字。这可以通过一次遍历来完成。然后，我们可以将问题分解成两个子问题：

1. 在最小的三个数字中找到两个最大的数字
2. 在最大的三个数字中找到两个最大的数字

这两个子问题可以通过一次遍历来解决。

具体而言，我们可以创建两个列表：一个保存每个数字的最大乘积（由前面的数字生成），另一个保存每个数字的最小乘积。从左到右遍历数字，并计算该数字与其前面的数字的最大乘积和最小乘积。为了得到每个数字的最大乘积和最小乘积，我们需要维护前面的数字中的最大乘积和最小乘积。在这里，我们使用贪心算法和动态规划来更新这些值。贪心算法告诉我们，一个数字的最大乘积可以是它自己和前面的数字的最大乘积或最小乘积乘以该数字中的最大数字。同样地，一个数字的最小乘积可以是它自己和前面数字的最大乘积或最小乘积乘以该数字中的最小数字。

最终，我们比较这两个子问题的解决方案，并返回其中的最大值。

下面是该算法的代码片段：

def max_product(nums):
    n = len(nums)
    k = 3
    
    # 找到最小的三个数字和最大的三个数字
    smallest = sorted(nums)[:k]
    largest = sorted(nums)[n-k:]
    
    # 初始化两个列表，保存每个数字的最大乘积和最小乘积（由前面的数字生成）
    max_list = [0] * n
    min_list = [0] * n
    
    # 计算最小的三个数字中最大的两个数字的乘积
    max_product1 = float('-inf')
    for i in range(k):
        if smallest[i] > max_product1:
            max_product1 = smallest[i]
    
    # 计算最大的三个数字中最大的两个数字的乘积
    max_product2 = float('-inf')
    for i in range(n-k, n):
        if largest[i-(n-k)] > max_product2:
            max_product2 = largest[i-(n-k)]
    
    # 初始化第一个数字的最大乘积和最小乘积
    max_list[0], min_list[0] = nums[0], nums[0]
    
    # 计算最大乘积和最小乘积
    for i in range(1, n):
        curr_num = nums[i]
        
        curr_max = max(curr_num, max_list[i-1]*curr_num, min_list[i-1]*curr_num)
        curr_min = min(curr_num, max_list[i-1]*curr_num, min_list[i-1]*curr_num)
        
        max_list[i] = curr_max
        min_list[i] = curr_min
    
    # 比较两个子问题的解决方案，并返回其中的最大值
    return max(max_product1*max_product2*max_list[n-2], largest[n-k]*largest[n-k-1]*max_list[n-1])

总结

本文介绍了一种解决“大小为3的双子序列的最大乘积”问题的高效算法，该算法基于动态规划和贪心算法。通过将问题分解成两个子问题，并使用动态规划来计算每个数字的最大乘积和最小乘积，我们可以避免暴力搜索所有可能的子序列，从而提高了效率。