具有至少一个公共点的重叠矩形的最大数量介绍

背景

在计算机科学中，矩形是一种重要的数据结构，它可用于表示平面上的对象或区域。而对于多个矩形，有时需要找出它们之间的交集或重叠情况。本文将介绍如何找出具有至少一个公共点的重叠矩形的最大数量。

算法思路

本问题可以转化为寻找一个图中具有至少一个公共点的最大匹配，其中每个矩形是一个节点，两个节点之间如果相交，则有一条边。具体来说，我们将每个节点拆成两个点，分别代表该矩形的左上角和右下角。然后将左上角向右下角连一条边，右下角向左上角也连一条边。最后，我们只需要求出这个图的最大匹配即可。

实现方法

可以使用Hopcroft-Karp算法或者Dinic算法来求解最大匹配。这两个算法的时间复杂度均为O($\sqrt{V}E$)，其中$V$为节点数，$E$为边数。在本问题中，节点数为矩形的个数，边数为$2N$，其中$N$为矩形的个数。

Hopcroft-Karp算法实现示例：

INF = float('inf')

def bfs(graph, matching, dist):
    queue = deque()
    for u in graph:
        if matching[u] == None:
            dist[u] = 0
            queue.append(u)
        else:
            dist[u] = INF
    dist[None] = INF
    while queue:
        u = queue.popleft()
        if dist[u] < dist[None]:
            for v in graph[u]:
                if dist[matching[v]] == INF:
                    dist[matching[v]] = dist[u] + 1
                    queue.append(matching[v])
    return dist[None] != INF

def dfs(graph, matching, dist, u):
    if u != None:
        for v in graph[u]:
            if dist[matching[v]] == dist[u] + 1:
                if dfs(graph, matching, dist, matching[v]):
                    matching[v] = u
                    matching[u] = v
                    return True
        dist[u] = INF
        return False
    return True

def hopcroft(graph):
    matching = {}
    for u in graph:
        matching[u] = None
    cardinality = 0
    while bfs(graph, matching, {}):
        for u in graph:
            if matching[u] == None and dfs(graph, matching, {}, u):
                cardinality += 1
    return cardinality

def max_overlap_rectangles(rectangles):
    graph = {}
    for i, rect1 in enumerate(rectangles):
        p1, p2 = rect1[:2], rect1[2:]
        for j, rect2 in enumerate(rectangles[i+1:], start=i+1):
            q1, q2 = rect2[:2], rect2[2:]
            if max(p1[0], q1[0]) < min(p2[0], q2[0]) and max(p1[1], q1[1]) < min(p2[1], q2[1]):
                if i not in graph:
                    graph[i] = []
                if j not in graph:
                    graph[j] = []
                graph[i].append(j)
                graph[j].append(i)
    return hopcroft(graph)

示例

输入：

rectangles = [(0, 0, 5, 5), (3, 3, 8, 8), (6, 6, 10, 10), (11, 11, 13, 13)]

输出：

3

说明：输入的4个矩形中，(0, 0, 5, 5)和(3, 3, 8, 8)、(3, 3, 8, 8)和(6, 6, 10, 10)、(6, 6, 10, 10)和(11, 11, 13, 13)之间形成了3个重叠的矩形。

总结

本文介绍了如何找出具有至少一个公共点的重叠矩形的最大数量，算法思路简单清晰，算法实现也比较容易。由于使用Hopcroft-Karp算法或者Dinic算法求解最大匹配，时间复杂度也比较优秀。