最大面积的矩形子矩阵

问题概述

给定一个由0和1组成的二维矩阵，在其中找到一个仅包含1的最大矩形子矩阵，并返回该子矩阵的面积。

例如，给定以下二维矩阵：

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

则最大矩形子矩阵为：

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

该子矩阵的面积为10。

解决方案

暴力查找

最简单的解决方案是暴力查找。我们遍历所有可能的子矩阵，并计算它们的面积。最后返回最大面积的子矩阵即可。

时间复杂度为O(n^6)，不适用于大规模数据集。

动态规划

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们将矩阵中的每一行看作是一个直方图，并计算该直方图的最大矩形面积。

通过这种方式，我们可以将问题转化为求每一行直方图的最大矩形面积。这可以通过一个标准算法（例如LeetCode 84）来解决。

我们可以使用一个一维数组height来表示当前遍历到的柱形的高度数组，然后求出以该柱形为高度的最大矩形面积。这个问题的解决方案见LeetCode 84的官方题解。

时间复杂度为O(n^3)，因为我们需要遍历每一行直方图并计算其面积。

优化的动态规划

我们可以通过使用前一行的结果来优化算法。具体来说，我们使用一个一维数组heights来存储当前行可用的高度。

考虑当前行直方图中每个位置的高度。如果当前位置是1，则将heights数组中对应的位置的值加1；否则将其重置为0。然后我们计算以该行作为底边的最大矩形面积。当我们遍历完所有行之后，我们就可以得到最大的矩形面积。

时间复杂度为O(n^2)，因为我们只需要遍历每个元素两次。

代码实现

暴力查找

def max_rect(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    max_area = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                for k in range(i, m):
                    for l in range(j, n):
                        if all(matrix[x][y] == 1 for x in range(i, k+1) for y in range(j, l+1)):
                            area = (k-i+1)*(l-j+1)
                            max_area = max(max_area, area)
    return max_area

动态规划

def max_rect(matrix):
    if not matrix:
        return 0
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    heights = [0] * (n+1)
    max_area = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                heights[j] += 1
            else:
                heights[j] = 0
        max_area = max(max_area, largest_rectangle_area(heights))
    return max_area

def largest_rectangle_area(heights):
    stack = []
    heights.append(0)
    max_area = 0
    for i, h in enumerate(heights):
        while stack and h < heights[stack[-1]]:
            height = heights[stack.pop()]
            width = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, height * width)
        stack.append(i)
    heights.pop()
    return max_area

优化的动态规划

def max_rect(matrix):
    if not matrix:
        return 0
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    heights = [0] * (n+1)
    max_area = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                heights[j] += 1
            else:
                heights[j] = 0
        max_area = max(max_area, largest_rectangle_area(heights))
    return max_area

def largest_rectangle_area(heights):
    stack = []
    heights.append(0)
    max_area = 0
    for i, h in enumerate(heights):
        while stack and h < heights[stack[-1]]:
            height = heights[stack.pop()]
            width = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, height * width)
        stack.append(i)
    heights.pop()
    return max_area