循环群和子群

循环群(cyclic group)是一类代数系统，其基本性质是存在一个元素，可以通过重复对这个元素进行运算得到整个群。循环群的每个元素都可以表示成这个元素的幂次，称为生成元(generator)。循环群的阶(order)是生成元的最小幂次数。

子群(subgroup)是一个群的子集，且在这个子集下的运算也构成一个群。循环群的每个子群都是循环的。

证明

设循环群G的生成元为g，阶为n。每个元素x∈G可以表示为g的幂次，即x=g^k，其中k∈{0,1,...,n-1}。

假设H是G的一个子群，且H不是循环的，则H可以表示成若干个g的幂次的和的形式，即存在k1,k2,...,km∈{0,1,...,n-1}，使得H={g^k1+g^k2+...+g^km}。

我们可以对k1,k2,...,km进行排序，使得k1≤k2≤...≤km。则H可以表示成g的幂次的和的形式，即存在k∈{0,1,...,n-1}，使得H={g^k}，是一个循环子群。

总结

循环群的每个子群都是循环的，是因为子群可以看做是循环群的若干个生成元的幂次的和，而循环群的每个元素都可以表示成某个生成元的幂次的形式。因此，循环群的每个子群都是循环的，且其生成元是原循环群的生成元的幂次。