Quasiconvex和Quasiconcave函数

概述

Quasiconvex和Quasiconcave函数是在数学中经常出现的两种函数类型。Quasiconvex函数指的是具有以下性质的函数：对于任意的$x_1$和$x_2$，若函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$均不大于某个数$k$，则对于介于$x_1$和$x_2$之间的任意$x$，都满足$f(x) \le k$。简言之，对于一个Quasiconvex函数而言，函数值在某个水平集内是上确界函数。

Quasiconcave函数则是具有相反性质的函数：对于任意的$x_1$和$x_2$，若函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$均不小于某个数$k$，则对于介于$x_1$和$x_2$之间的任意$x$，都满足$f(x) \ge k$。简言之，对于一个Quasiconcave函数而言，函数值在某个水平集内是下确界函数。

这两种类型函数在优化领域中应用广泛，其特性有利于一些约束的建模。

举例

以下是两个例子，具体说明Quasiconvex和Quasiconcave函数是如何应用的。

例子1：最大化分数函数

假设我们有$n$个项，每个项有一个权重$w_i$和价值$v_i$。我们需要从这些项中选择若干个，使得它们的总权重不超过一个常数$c$的情况下，总价值最大。

我们可以定义一个分数函数$f(x)$，其中$x$是一个长度为$n$的二进制向量，表示每个项是否被选择。它定义为：

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i v_i $$

我们将这个问题建模为以下优化问题：

$$ \begin{aligned} & \text{maximize} & & f(x) \ & \text{subject to} & & \sum_{i=1}^{n} x_i w_i \le c \ & & & x_i \in {0,1}, \ \ \forall i \in {1, \ldots, n} \end{aligned} $$

这是一个0-1规划问题，非常难以求解。但是，我们可以利用分数函数的性质，将其转化为一个更加简单的问题。我们发现，$f(x)$是一个Quasiconcave函数，其意味着一个非空的下凸水平集。此外，$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i$是一个仿射函数。因此，我们可以使用经典的凸规划方法（如拉格朗日松弛）来近似该问题的最优解。

例子2：图像分割

在图像分割任务中，我们需要将图像分成若干部分，其中每个部分应该具有一定的连通性和相似性。这是一个经典的计算机视觉问题，也可以建模为一个Quasiconvex QCQP（Quadratically Constrained Quadratic Program）问题。

具体来说，我们将图像中的每个像素看作优化变量$x_i$，其中$i \in {1, \ldots, n}$。我们还定义一个相似性函数$sim(i,j)$，表示像素$i$和$j$的相似度。假设我们需要将图像分成$k$个部分，我们可以将这个问题描述为以下优化问题：

$$ \begin{aligned} & \text{maximize} & & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} sim(i,j) x_i x_j \ & \text{subject to} & & \sum_{i=1}^{n} x_i = k \ & & & x_i \in {0,1}, \ \ \forall i \in {1, \ldots, n} \end{aligned} $$

这是一个Quasiconvex QCQP问题，我们可以使用经典的凸规划方法来求解该问题的最优解。

总结

Quasiconvex和Quasiconcave函数是一类具有特殊性质的函数类型，在优化和计算机视觉任务中应用广泛。对于一些约束条件下的最优化问题，通过将其建模为Quasiconvex或Quasiconcave函数，我们可以使用凸规划等经典方法来求解该问题的最优解。