不包含弧形交点的字符串计数

这里介绍一种基于字符串的算法，用于计数由不相交弧构成的所有字符串的数量。

问题背景

考虑一个由 $n$ 个点组成的圆上的 $k$ 条弧的情形。每条弧从一个点开始，向一个另外的点结束，且圆的所有点都属于一条弧。当两条不同弧相交于一个点时，称它们在该点处相交。此时，我们说这两条弧形成的交点是一个弧形交点。

现在，我们考虑所有不包含弧形交点的弧的组合方式。对于这样的弧，我们可以将其按照从起点开始的顺序进行编号。例如，如果有 $4$ 条弧，可以编号为 $(1,2,3,4)$ 或 $(2,1,4,3)$ 等等。注意，弧的编号仅为了方便而引入，实际上它们本身并没有弧之间的顺序关系。

我们希望找到用 $n$ 个点构成圆上的 $k$ 条不相交弧的方案数，该方案数不包含任何弧形交点。

解决方案

我们可以将该问题转化为排列组合问题。注意到，如果 $k$ 条弧的任意组合中，存在 $m$ 个相交，则可以通过断开任意 $m$ 对相交的弧来得到同一组弧的一种不相交排列。因此，我们可以用容斥原理解决该问题，即计算出在不同数量的弧形交点数下，可行的方案数，然后用容斥原理加以组合计算即可。

为了计算任意数量的弧形交点数下的方案数，我们可以通过递推求解。具体地，我们要计算给定圆上 $n$ 个点和 $k$ 条弧的情况下，恰好有 $m$ 个弧形交点的方案数。这个问题可以通过计算两个低一维的问题得到解决，即为 $m-1$ 个相交的弧和 $m$ 个相交的弧。

我们可以用动态规划的方法解决这个递推问题。令 $f(n,k,m)$ 表示在圆上 $n$ 个点构成的 $k$ 条弧中，恰好存在 $m$ 个弧形交点的方案数。我们可以得到如下的递推式：

$$ f(n,k,m)=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}f(i,k-1,m-1)f(n-1-i,k-1,m) $$

其中，$\binom{n-1}{i}$ 表示选择 $i$ 个点作为两条弧的弧形交点的方案数。递推的初始值为 $f(0,0,0)=1$。

基于上述递推式，我们可以通过 $O(nk^2)$ 的时间复杂度计算出 $f(n,k,m)$。最终，我们可以通过容斥原理计算所有不包含弧形交点的弧的方案数。

代码实现

以下是一个 Python 实现的样例代码：

def count_strings(n: int, k: int) -> int:
    """
    计算圆上有 n 个点和 k 条不相交的弧的方案数。
    """
    # 递推计算 f(n,k,m)
    f = [[[0] * (k+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(k+1)]
    f[0][0][0] = 1
    for i in range(1, k+1):
        for j in range(1, n+1):
            for m in range(1, k+1):
                for p in range(j):
                    f[i][j][m] += f[i-1][p][m-1] * f[i-1][j-1-p][m]
                    f[i][j][m] %= MOD
    # 容斥计算不包含弧形交点的弧数
    ans = 0
    for i in range(k+1):
        sign = -1 if i % 2 == 1 else 1
        cnt = 1
        for j in range(i):
            cnt *= n-j
            cnt %= MOD
        cnt *= pow(j+1, MOD-2, MOD)
        cnt %= MOD
        cnt *= f[k][n][i]
        cnt %= MOD
        ans += sign * cnt
        ans %= MOD
    return ans

该函数接受两个整数 $n$ 和 $k$，分别表示圆上点的数量和弧的数量。函数返回由不包含弧形交点的弧构成的字符串数。

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(nk^2)$。对于较大的 $n$ 和 $k$，该算法可能需要较长时间才能计算得出。因此，如果需要计算高精度的答案，可能需要使用更高效的数据结构和算法，例如线性求逆元的方法。