介绍

本文将介绍如何构造一个图灵机，用于判断一个字符串是否符合语言 $L$，该语言的定义为 $L = {a^nb^mc^nm \mid n \geq 0, m \geq 0}$，即字符串由若干个 $a$ 和若干对 $b$ 和 $c$ 组成，其中 $b$ 和 $c$ 的数量相等，且 $a$ 的数量等于 $b$ 和 $c$ 的数量之和。

图灵机

我们将首先介绍该图灵机的基本结构以及每个部分的功能。

状态

该图灵机包含以下状态：

1. $q_0$：初始状态。
2. $q_1$：读入 $a$ 的状态。
3. $q_2$：读入 $b$ 的状态。
4. $q_3$：读入 $c$ 的状态。
5. $q_4$：删除 $a$ 和 $b$ 的状态。
6. $q_5$：删除 $c$ 的状态。
7. $q_6$：读入末尾符号的状态。

其中，状态 $q_0$ 为初始状态，状态 $q_6$ 为字符串的末尾符号。

符号

该图灵机使用的符号包括：

1. $a,b,c$:用于构成符合语言 $L$ 的字符串。
2. 总是在字符串末尾的 $blank$ 符号。

转移函数

该图灵机的转移函数如下：

1. 当 $q_0$ 读入 $a$ 时，进入 $q_1$ 状态，将 $a$ 替换为 $X$，然后移动到右边一个符号位置。
2. 当 $q_1$ 读入 $a$ 时，保持在 $q_1$ 状态，将 $a$ 替换为 $X$，然后移动到右边一个符号位置。
3. 当 $q_1$ 读入 $b$ 时，进入 $q_2$ 状态，将 $b$ 替换为 $Y$，然后移动到右边一个符号位置。
4. 当 $q_2$ 读入 $b$ 时，保持在 $q_2$ 状态，将 $b$ 替换为 $Y$，然后移动到右边一个符号位置。
5. 当 $q_2$ 读入 $c$ 时，进入 $q_3$ 状态，将 $c$ 替换为 $Z$，然后移动到右边一个符号位置。
6. 当 $q_3$ 读入 $c$ 时，保持在 $q_3$ 状态，将 $c$ 替换为 $Z$，然后移动到右边一个符号位置。
7. 若在状态 $q_3$ 时读入了字符串末尾的 $blank$ 符号，进入 $q_6$ 状态。
8. 当 $q_3$ 读入 $a$ 时，进入 $q_4$ 状态，删除一个 $a$，然后移动到左边一个符号位置。
9. 当 $q_4$ 读入 $a$ 时，保持在 $q_4$ 状态，删除一个 $a$，然后移动到左边一个符号位置。
10. 当 $q_4$ 读入 $Y$ 时，返回 $q_1$ 状态，将 $Y$ 替换为 $b$，然后移动到左边一个符号位置。
11. 当 $q_4$ 读入 $Z$ 时，返回 $q_5$ 状态，将 $Z$ 替换为 $c$，然后移动到左边一个符号位置。
12. 当 $q_5$ 读入 $Y$ 时，返回 $q_5$ 状态，删除一个 $Y$，然后移动到左边一个符号位置。
13. 当 $q_5$ 读入 $X$ 时，返回 $q_4$ 状态，将 $X$ 替换为 $a$，然后移动到左边一个符号位置。
14. 若在状态 $q_5$ 时读入了字符串末尾的 $blank$ 符号，返回 $q_0$ 状态。

接受状态

若该图灵机在状态 $q_6$ 时停止运行，则该字符串是符合语言 $L$ 的。

代码

下面是该图灵机的 Python 代码实现：

class TuringMachine:
    def __init__(self, tape):
        self.tape = tape
        self.head_position = 0
        self.final_states = {'q6'}

    def get_current_state(self):
        return 'q0'

    def transition_function(self, state, symbol):
        if state == 'q0' and symbol == 'a':
            self.tape[self.head_position] = 'X'
            self.head_position += 1
            return 'q1'
        elif state == 'q1' and symbol == 'a':
            self.tape[self.head_position] = 'X'
            self.head_position += 1
            return 'q1'
        elif state == 'q1' and symbol == 'b':
            self.tape[self.head_position] = 'Y'
            self.head_position += 1
            return 'q2'
        elif state == 'q2' and symbol == 'b':
            self.tape[self.head_position] = 'Y'
            self.head_position += 1
            return 'q2'
        elif state == 'q2' and symbol == 'c':
            self.tape[self.head_position] = 'Z'
            self.head_position += 1
            return 'q3'
        elif state == 'q3' and symbol == 'c':
            self.tape[self.head_position] = 'Z'
            self.head_position += 1
            return 'q3'
        elif state == 'q3' and symbol == 'blank':
            return 'q6'
        elif state == 'q3' and symbol == 'a':
            self.tape[self.head_position] = '_'
            self.head_position -= 1
            return 'q4'
        elif state == 'q4' and symbol == 'a':
            self.tape[self.head_position] = '_'
            self.head_position -= 1
            return 'q4'
        elif state == 'q4' and symbol == 'Y':
            self.tape[self.head_position] = 'b'
            self.head_position -= 1
            return 'q1'
        elif state == 'q4' and symbol == 'Z':
            self.tape[self.head_position] = 'c'
            self.head_position -= 1
            return 'q5'
        elif state == 'q5' and symbol == 'Y':
            self.tape[self.head_position] = '_'
            self.head_position -= 1
            return 'q5'
        elif state == 'q5' and symbol == 'X':
            self.tape[self.head_position] = 'a'
            self.head_position -= 1
            return 'q4'
        elif state == 'q5' and symbol == 'blank':
            return 'q0'

    def run(self):
        current_state = self.get_current_state()
        current_symbol = self.tape[self.head_position]
        while current_state not in self.final_states:
            current_state = self.transition_function(current_state, current_symbol)
            current_symbol = self.tape[self.head_position]
        if current_state in self.final_states:
            return True
        else:
            return False

该代码实现了一个基于带子的图灵机，可以判断一个字符串是否符合语言 $L$。在该代码中，我们使用了以下变量：

1. $self.tape$：保存字符串的带子。
2. $self.head_position$：带子头的位置。
3. $self.final_states$：图灵机的接受状态集合。
4. $self.get_current_state()$：获取当前的状态。
5. $self.transition_function(state, symbol)$：转移函数，用于根据当前的状态和读入的符号计算下一个状态及改变带子上的符号。
6. $self.run()$：执行当前图灵机，判断输入的字符串是否符合语言 $L$。

其中，$self.transition_function(state, symbol)$ 便是按照前面介绍的图灵机的转移函数实现的。$self.run()$ 函数则不断执行 $self.transition_function(state, symbol)$ 直到图灵机停止运行。若在 $self.final_states$ 中找到了停机状态，则说明输入的字符串符合语言 $L$。