最长交替子序列

交替子序列是指一个序列中相邻的两个元素的大小差别交替出现的子序列。例如，序列[1,3,2,5,4,7]中，[1,3,2,5,4]是一个交替子序列。最长交替子序列是指一个序列中最长的交替子序列。

最长交替子序列问题可以通过动态规划来解决。具体的解决方法可以分为两个步骤：

1. 定义状态

定义一个二维数组dp[i][0]和dp[i][1]。其中dp[i][0]表示以第i个元素作为结尾的交替子序列中最后一个元素比它小的子序列的长度，dp[i][1]表示以第i个元素作为结尾的交替子序列中最后一个元素比它大的子序列的长度。

2. 转移方程

当数组元素dp[i][0]之前的一个元素dp[j][1]比它大时，可以得出dp[i][0] = dp[j][1] + 1；当数组元素dp[i][1]之前的一个元素dp[j][0]比它小时，可以得出dp[i][1] = dp[j][0] + 1。

最后，统计出数组dp中的所有元素的最大值，即为最长交替子序列的长度。

以下是其中一种可能的实现方式:

def longestAlternatingSubsequence(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0

    # 定义状态
    dp = [[1, 1] for _ in range(n)]

    # 转移方程
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][0] + 1)
            elif nums[i] < nums[j]:
                dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][1] + 1)

    # 返回最长交替子序列的长度
    return max(max(dp[i]) for i in range(n))

此外，还可以通过回溯算法和贪心算法来解决最长交替子序列问题。但动态规划是最常用且最有效的解决方法之一。