可能的二叉搜索树和具有 n 个键的二叉树的总数

什么是二叉搜索树

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足以下条件：

1. 左子树中的所有节点的键小于根节点的键。
2. 右子树中的所有节点的键大于根节点的键。
3. 左子树和右子树都必须是二叉搜索树。

二叉排序树是一种空间和时间效率很高的数据结构，用于处理有序的数据集合，例如：查找、插入、删除等。所以很多现代语言的标准库都提供二叉排序树实现，如 C++ STL 中的 map、set 等。

二叉搜索树的构建

假设我们有一个数组 keys，包含 n 个互不相同的元素，我们可以使用如下的递归算法构建一个二叉搜索树：

def build_bst(keys, start, end):
    # 如果 start 大于 end，则返回空树
    if start > end:
        return None
    
    # 取中间位置作为根节点
    mid = (start + end) // 2
    root = Node(keys[mid])
    
    # 递归地构建左右子树
    root.left = build_bst(keys, start, mid - 1)
    root.right = build_bst(keys, mid + 1, end)
    
    return root

这个算法的时间复杂度是 O(n)，因为它是一个分治算法，每次都会将问题规模减半。

可能的二叉搜索树数目

给定 n 个互不相同的元素，它们可以构成多少种不同的二叉搜索树呢？这个问题可以用数学归纳法解决。

当 n=0 或 n=1 时，只有一种可能的二叉搜索树。

当 n=2 时，有如下两种可能的二叉搜索树：

   1       2
    \     /
     2   1

当 n=3 时，有如下五种可能的二叉搜索树：

   1      1        2        3        3
    \      \      / \      /        /
     2      3    1   3    1        2
      \    /             \      /
       3  2               2    1

我们可以发现，对于 n 个互不相同的元素，它们可能的二叉搜索树数目 G(n) 等于：

$$G(n) = \sum_{i=1}^{n} G(i-1)G(n-i)$$

也就是从 n 个元素中选出一个根节点，根据二叉搜索树的定义，剩下的元素分别放在左右子树中，左子树可以由前 i-1 个元素构成的二叉搜索树构建得到，右子树可以由后 n-i 个元素构成的二叉搜索树构建得到，它们的可能的组合数相乘即为该根节点对应的二叉搜索树数目，累加所有的可能性即为 n 个元素所能构成的不同二叉搜索树数目。

我们可以用动态规划的思想，从小到大依次计算每个可能的二叉搜索树数目，得到最终的结果。时间复杂度为 O(n^2)。

def count_bst(n):
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    dp[1] = 1
    
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
    
    return dp[n]

具有 n 个键的二叉树的总数

除了可能的二叉搜索树数目，我们还可以计算具有 n 个键的任意二叉树的总数。这个问题的解决方法比较简单，可以通过组合数的计算得到。

假设我们有 n 个互不相同的元素，它们可以构成 $C_n$ 种不同的排列。对于这些排列，它们可以组成的不同二叉树数目为：

$$ T_n = C_n \times \frac{1}{n+1} \times \frac{1}{n} \times ... \times \frac{1}{2} $$

其中 $\frac{1}{n+1} \times \frac{1}{n} \times ... \times \frac{1}{2}$ 表示对于每个节点，它在目标二叉树中的出现概率，因为每个节点都可以作为某个节点的左子树或右子树，所以这个概率是相同的。

我们可以通过组合数的计算和动态规划，快速计算出这个值。时间复杂度为 O(n^2)。

def count_bt(n):
    C = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        C[i][0] = 1
        for j in range(1, i+1):
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]
    
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i] += C[i][j] * dp[j-1] * dp[i-j]
    
    return dp[n]

总结

本文介绍了二叉搜索树的定义和构建方法，以及计算可能的二叉搜索树和任意二叉树数目的算法。这些问题都可以通过动态规划的思想和数学归纳法解决。这些算法在实际编程中有很多应用，可以帮助我们更好地理解数据结构和算法的本质。