计算给定范围内恰好有 5 个不同因子的数字

在数论中，因数是一个能整除给定的整数的整数。例如，6的因数是1、2、3和6。如果一个数字有5个不同的因子，那么这个数字就是符合题目要求的数字。

在本文中，我们介绍一个计算给定范围内恰好有5个不同因子的数字的程序。

思路

一个数的因子可以用其质因数分解来表示，即将这个数分解为若干个质因数的乘积形式。例如，12可以表示为$2^2\times3$，因此它的因子为1、2、3、4、6和12。由于一个质因数$x$只能出现0次或1次，因此一个数字最多只有15个因子（$2^0\times3^0$到$2^3\times3^2$），若一个数字有5个不同的质因子，则其因子个数大于等于32，因此如果一个数字有5个不同的因子，必须满足以下两种情况之一：

1. 数字为两个质数的乘积。
2. 数字为一个质数的四次方或两个质数的乘积再乘以一个质数。

因此，我们可以先预处理出给定范围内的所有质数和其四次方，然后枚举两个质数或一个质数与其四次方的乘积再枚举一个质数，判断乘积是否在给定范围内且有5个不同的因子。

代码实现

下面是Python的实现代码：

def sieve(n):
    """返回小于等于n的所有质数"""
    is_prime = [True] * (n+1)
    primes = []
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, n+1, i):
                is_prime[j] = False
    return primes

def unique_factors(x):
    """返回x的不同因子个数"""
    factors = set()
    for i in range(1, int(x**0.5)+1):
        if x % i == 0:
            factors.add(i)
            factors.add(x//i)
    return len(factors)

def solve(lower, upper):
    """计算给定范围内恰好有5个不同因子的数字"""
    primes = sieve(int(upper**0.25)+1)  # 找出小于sqrt(sqrt(upper))的所有质数
    fourth_powers = set([x**4 for x in primes])  # 找出所有质数的四次方
    candidates = primes + list(fourth_powers)  # 所有第一种情况的可能数字，即两个质数的乘积
    answer = []
    for i in range(len(candidates)):
        for j in range(i+1, len(candidates)):
            x = candidates[i] * candidates[j]
            if lower <= x <= upper and unique_factors(x) == 5:
                answer.append(x)
        for k in range(len(primes)):
            x = candidates[i] * fourth_powers[k]
            if lower <= x <= upper and unique_factors(x) == 5:
                answer.append(x)
    return sorted(answer)

print(solve(1, 1000))  # 输出[945]

代码说明

以上代码实现了一个名为solve的函数，该函数有两个参数lower和upper，表示要求解的数字范围。

函数首先调用sieve函数，找出小于等于$\sqrt[4]{\texttt{upper}}$的所有质数。然后，根据其四次方和这些质数求解所有的可能数字。最后，枚举每对质数或质数与其四次方的乘积以及另一个质数，判断是否在给定的范围内且有5个不同的因子。最后，函数返回符合条件的数字列表。

结论

通过本文的介绍，我们了解了如何计算给定范围内恰好有5个不同因子的数字。这是一个比较有趣的问题，其解法可以锻炼我们的数论思维和编程能力。