使用后缀树进行模式搜索

介绍

后缀树是一种数据结构，用于存储字符串。它允许我们快速执行多种字符串操作，包括模式搜索、子串搜索和重复子串搜索。其中模式搜索是最常见的应用，因为它可以用来查找一个字符串中是否包含另一个给定的字符串。

在本教程中，我们将讨论如何使用后缀树进行模式搜索。我们将介绍后缀树的构建方法，以及如何在后缀树中查找模式。我们还将介绍后缀数组和 LCP（最长公共前缀）数组，它们也可以用于字符串搜索，并可用于优化后缀树的构建和搜索过程。

后缀树的构建

后缀树是由一个字符串的所有后缀构成的 Trie 树。Trie 树是一种树形数据结构，用于存储字符串。Trie 树中的每个节点代表一个字符串的前缀。如果两个字符串有相同的前缀，则它们对应的节点将共享一个子树。

后缀树的构建方法有多种，包括 McCreight 算法、Ukkonen 算法等。在这里，我们将介绍 McCreight 算法，因为它是一种简单且高效的构建方法。

McCreight 算法是一种递归算法，它的基本思想是从字符串的末尾开始，逐步添加每个后缀的前缀，直到构建整个后缀树。下面是 McCreight 算法的伪代码：

def build_suffix_tree(s):
    t = create_tree()
    active_node = t.root
    active_edge = None
    active_length = 0
    remainder = 0
    for i in range(len(s)):
        # 从当前节点开始，向下搜索当前后缀的前缀
        while remainder > 0:
            if active_edge is None:
                active_edge = s[i]
            edge_len = get_edge_length(active_node, active_edge)
            if active_length < edge_len:
                break
            active_length -= edge_len
            active_edge += edge_len
            active_node = get_suffix_link(active_node)
            remainder -= 1
        # 如果当前节点不存在以当前字符为边的子节点，则添加一个
        if active_edge is None:
            active_edge = s[i]
        if active_edge not in active_node.children:
            active_node.add_child(active_edge, create_node())
        # 更新当前活跃点
        active_node = active_node.children[active_edge]
        active_length += 1
        remainder += 1
        # 如果需要分裂当前节点，则进行分裂操作
        while remainder > 0:
            if active_length == 0:
                active_edge = s[i]
            edge_len = get_edge_length(active_node, active_edge)
            if s[i] != s[i-edge_len+active_length]:
                mid_node = create_node()
                active_node.children[active_edge][:edge_len-1].parent = mid_node
                mid_node.add_child(active_edge[:edge_len-1], active_node.children[active_edge][:edge_len-1])
                active_node.children[active_edge][:edge_len-1] = mid_node
                mid_node.add_child(s[i:], create_node())
                active_edge = active_edge[edge_len-1:]
                active_node = get_suffix_link(mid_node)
            else:
                break
        active_edge = None
    return t

上述代码中，s 表示要构建后缀树的字符串。create_tree() 和 create_node() 分别用于创建后缀树和节点。get_edge_length() 和 get_suffix_link() 函数用于获取节点的出边长度和后缀链接。下面是这些函数的具体实现：

def create_tree():
    return Node('', {}, None)

def create_node():
    return Node('', {}, None)

class Node:
    def __init__(self, edge, children, parent):
        self.edge = edge
        self.children = children
        self.parent = parent
        self.suffix_link = None

def get_edge_length(node, edge):
    if edge in node.children:
        return len(node.children[edge].edge)
    else:
        return 1

def get_suffix_link(node):
    if node.suffix_link is not None:
        return node.suffix_link
    elif node.parent is None:
        return node
    else:
        edge = node.edge[0]
        new_node = node.parent
        new_edge = new_node.edge[0]
        while edge != new_edge and new_node.parent is not None:
            new_node = new_node.parent
            new_edge = new_node.edge[0]
        if edge == new_edge:
            node.suffix_link = new_node.children[edge]
        else:
            node.suffix_link = new_node
        return node.suffix_link

在创建节点时，我们需要保存节点的出边、子节点、父节点和后缀链接。后缀链接用于在搜索模式时跳过一些节点。

后缀树的搜索

在后缀树中搜索模式的基本方法是沿着模式字符串的字符逐步向下遍历树节点。如果找到一个节点的出边与当前字符匹配，则继续向下遍历；如果找到一个节点的出边与当前字符不匹配，则说明模式不在树中，搜索失败。

下面是搜索模式的代码片段：

def search_suffix_tree(t, s):
    node = t.root
    edge = ''
    length = 0
    for i in range(len(s)):
        while length > 0:
            if edge == '':
                edge = s[i]
            if edge in node.children:
                child = node.children[edge]
                edge_len = len(child.edge)
                if length >= edge_len:
                    length -= edge_len
                    edge = ''
                    node = child
                else:
                    return False
            else:
                return False
        if s[i] in node.children:
            child = node.children[s[i]]
            edge_len = len(child.edge)
            if i + edge_len > len(s) or s[i:i+edge_len] != child.edge:
                return False
            length += edge_len
            edge = ''
            node = child
        else:
            return False
    return True

上述代码中，t 是要搜索的后缀树，s 是要查找的模式字符串。搜索过程中，我们需要记录当前的节点、当前所处出边和已经匹配的字符数。当已经匹配的字符数超过出边长度时，我们需要跳到子节点并更新相应变量。如果没有匹配的出边，则搜索失败。当匹配到模式字符串末尾时，我们需要检查是否到达了叶节点，否则搜索失败。

后缀数组和 LCP 数组

后缀数组是一种用于存储一个字符串所有后缀的数组，它可以用于优化后缀树的构建和搜索过程。在后缀数组中，每个后缀都表示为其在字符串中的起始位置的索引。

LCP 数组是一个与后缀数组对应的数组，它记录了相邻两个后缀的最长公共前缀。LCP 数组可以用于优化后缀树的构建和搜索过程，具体方法是在 McCreight 算法中使用 LCP 数组计算节点的边界。

总结

本教程介绍了如何使用后缀树进行模式搜索。我们通过介绍后缀树的构建方法、搜索方法，以及后缀数组和 LCP 数组的概念，帮助程序员熟悉后缀树算法。