将给定的字符串拆分为 Primes : Digit DP

在解决数学问题时，经常需要对给定的数进行拆分成素数进行处理，而这也需要我们很好地运用动态规划的思想。本文主要介绍将给定的字符串拆分为 Primes 的 Digit DP 算法。

什么是 Digit DP

将数字拆分成素数的问题有一个非常重要的前提，就是对大于等于2的素数的集合有所了解。因此我们需要事先构建一个素数表，这个过程可以使用埃氏筛法等方法实现。

而当我们解决了模拟素数表建立的问题之后，我们还需要解决的一个问题就是给定的数拆分成素数的问题。这个问题一般使用 Digit DP 算法解决。

所谓 Digit DP，指的是使用动态规划的思想，将数按照单个数字进行拆分，然后根据某些规则进行组合，构建成新的解法的算法。

解决问题：将字符串拆分为 Primes

对于这个问题，我们需要先将字符串转化为整数，再按照 Digit DP 的思路进行处理。

首先，我们设计一个状态 $f[i]$，表示前 $i$ 位数所构成的数字所能分解成素数的方案数。为了方便情况分析，在$f[i]$中再分解出一个状态 $g[i][j]$，表示前 $i$ 个数中，由第 $i$ 到第 $j$ 位所构成的数字是否为素数。

因此，我们的初始状态就是 $f[0] = 1$。然后我们需要遍历字符串中的每一个数字，更新状态 $f[i]$ 。我们有两种情况需要考虑：

1.以当前位数结尾的数字本身为素数，可以被划分。那么状态转移方程就是： $f[i] += f[j-1]$。其中，当第 $j$ 到第 $i$ 位所构成的数字本身是一个素数时，$g[j][i]$ 标记为 1。

2.以当前位数结尾面的数字本身不是素数，不能被划分。并且，如果当前的状态 $f[i] = 0$，那么后面的方案也就不存在了。

经过对字符串的每一位进行遍历，最终的结果就是 $f[n]$ 所表示的方案数。

代码实现

下面给出基于上述思路的代码实现，可以帮助大家更好地理解 Digit DP 算法的具体实现过程。

def digit_dp(s: str) -> int:
    n = len(s)
    f = [0] * (n + 1)
    g = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    primes = set([2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97])
    f[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i, 0, -1):
            num = int(s[j-1:i])
            if num in primes:
                g[j][i] = 1
                f[i] += f[j-1]
            if f[j-1] == 0:
                break

    return f[n]

总结

本文主要介绍了 Digit DP 算法的思路，以及如何使用 Digit DP 解决将字符串拆分为 Primes 的问题。在实现代码的过程中，需要注意细节，并且需要理解素数表的建立过程。