总和可被 k 整除的最长子数组

什么是总和可被 k 整除的最长子数组？

总和可被 k 整除的最长子数组指的是一个数组中，连续的一段子数组的元素之和是 k 的倍数，并且这段子数组的长度是所有满足条件的子数组中最长的。

例如，对于数组 [4, 5, 0, -2, -3, 1] 和 k = 5，其总和可被 k 整除的最长子数组为 [4, 5, 0, -2, -3]，其长度为 5。

如何求解总和可被 k 整除的最长子数组？

我们可以先计算出数组的前缀和，即从数组开头一直累加到当前位置的元素和。令数组前缀和为 prefix_sum，则有：

prefix_sum[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]

那么，以子数组 nums[i:j] 的元素和能够被 k 整除，就等价于 prefix_sum[j] 和 prefix_sum[i] 对 k 取模的结果相同。即：

(prefix_sum[j] - prefix_sum[i]) % k == 0

这个等式可以转化为：

prefix_sum[j] % k == prefix_sum[i] % k

使用一个哈希表来存储前缀和对 k 取模的结果，键为前缀和对 k 取模的值，值为该前缀和第一次出现的位置。

我们从左到右遍历数组，对于当前位置 i，假设其对应的前缀和对 k 取模的值为 mod_i。如果哈希表中已经有 mod_i 这个键，说明之前某个位置 j 对应的前缀和 mod_j 和 i 对应的前缀和 mod_i 模 k 的结果相同，因此子数组 nums[j+1:i] 的元素和一定是 k 的倍数。

由于我们要求得最长的子数组，因此需要让满足条件的子数组的长度最长，因此我们只需用一个变量 max_length 记录下到目前为止最长的满足条件的子数组的长度即可。

下面是代码实现：

def maxSubArray(nums: List[int], k: int) -> int:
    prefix_sum = [0]
    for num in nums:
        prefix_sum.append((prefix_sum[-1] + num) % k)
    
    mod_to_index = {0: 0}
    max_length = 0
    for i in range(1, len(prefix_sum)):
        mod_i = prefix_sum[i]
        if mod_i in mod_to_index:
            length = i - mod_to_index[mod_i]
            max_length = max(max_length, length)
        else:
            mod_to_index[mod_i] = i
        
    return max_length

时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。