总和可被m整除的子集数

什么是子集数？

子集数是指给定一个集合，它包括该集合所有的非空子集，包括它本身。例如，集合{1，2，3}的子集数为{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}和{1,2,3}，共7种。

问题描述

给定一个数组arr和一个整数m，求包含arr中元素的所有子集中，子集元素和能被m整除的子集数。

解法

设dp[i][j]表示在前i个元素中选取，使得子集的和模m等于j的子集数。则dp[i][j]有两种转移方式：

1. 不选当前元素：dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 选当前元素：dp[i][j] = dp[i-1][(j-arr[i])%m]

最终所求即为dp[n][(m-1)%m]。

代码如下：

def count_subsets(arr, m):
    n = len(arr)
    dp = [[0]*(m) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(m):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-arr[i-1])%m]
    return dp[n][(m-1)%m]

arr = [3, 1, 7, 2, 4]
m = 5
print(count_subsets(arr, m)) # 输出2

以上程序的时间复杂度为$O(nm)$，空间复杂度为$O(nm)$。

总结

此问题是基于动态规划算法思想解决的，需要对动态规划理解透彻，能够写出常见的DP转移方程，对细节也要注意。