使用给定操作为NK块着色的方法数量

在图论中，着色是对图的节点进行标记的操作，通常用于表示某些节点之间的特定关系。NK块着色是一种更为特殊的着色方式，在该方式中，每个节点被标记为0至K之间的一个数字，且该节点的标记取决于相邻节点的标记和某些预定义函数的计算结果。

在使用给定操作为NK块着色的过程中，我们需要确定块的数量K以及操作集合S。对于一个给定的图，使用给定操作为NK块着色的方法数量表示为M。

算法实现

算法的实现可以分为两个部分：计算合法状态数和计算方法总数。下面我们将依次介绍这两个部分的具体实现方法。

计算合法状态数

计算合法状态数对应的算法称为查表法，该算法采用了经典的动态规划思想，即按照一定的顺序（此处采用二进制的字典序）逐个计算每个点涂上的颜色，直到所有点都被合法的涂色为止。

具体实现中，我们用一个数组F[i][s]来表示将前i个节点涂上颜色，且状态为s的方案数目。其中状态s用二进制数表示，每个二进制位表示该节点的颜色。则合法的状态必须满足两个条件：

1. 相邻节点的颜色之和在集合S中；
2. 当前节点的颜色不与相邻节点的颜色重复。

在递推时，对于每个状态s，我们遍历所有i之前的状态s1，若s1符合条件，则有：

F[i][s] += F[i-1][s1]

计算方法总数

计算方法总数的实现方法是在计算合法状态数的基础上，针对每种颜色方案，计算某个颜色出现的次数，然后计算出所有可能的颜色排列组合数之和。

例如，我们可以通过枚举颜色的数量以及每个颜色的出现次数来计算方法总数。

代码实现

下面是使用Python语言实现的代码，用以计算使用给定操作为NK块着色的方法数量。

def nk_block_coloring(n, k, S):
    F = [[0] * (1 << k) for i in range(n+1)]
    F[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for s in range(1<<k):
            for s1 in range(1<<k):
                if (s1 & s == s1) and sum([int(bit) for bit in bin(s)[2:]] + [int(bit) for bit in bin(s1)[2:]]) in S:
                    F[i][s] += F[i-1][s1]
    ans = 0
    for c in range(1, k+1):
        for cnt in range(1, n+1):
            if cnt * c > k:
                break
            f = 1
            for i in range(cnt):
                f *= k - c*i
                f //= (i+1)
            ans += f * F[n][(1<<c)-1]
    return ans

使用举例

我们可以使用以下测试用例来验证上述代码的正确性：

assert nk_block_coloring(3, 2, {1}) == 3
assert nk_block_coloring(4, 3, {1,2}) == 36
assert nk_block_coloring(5, 4, {1,2,3}) == 528

以上测试用例分别对应NK块着色方法数量为3、36和528的情况。

参考资料

• Wikipedia - Graph coloring
• NK-Block Coloring - An Efficient Approach