最大总和，使得恰好选择了一半的元素，并且没有两个相邻的元素

在给定数组中，找到恰好选择一半的元素，并且没有两个相邻元素的最大总和。这是一个经典的动态规划问题。

问题分析与解法

首先我们需要将问题进行简化，考虑只选出一块不相邻的元素的最大总和。假设数组 $a$ 的长度为 $n$，使用 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个元素所能选出的不相邻元素的最大总和，那么有以下递推式：

$$ dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+a[i-1]) $$

其中，$dp[0]=0, dp[1]=a[0]$。

为什么要以 $i-2$ 的位置作为可选的位置呢？因为如果选择 $i-1$ 的位置，那么与 $i$ 的位置相邻，与 $i-2$ 的位置也相邻，不符合要求；而如果选择 $i-2$ 的位置，那么与 $i$ 的位置不相邻，符合要求。

接着考虑如何求解恰好选择一半的元素的最大总和。因为需要选择一半的元素，所以数组长度必须为偶数，即 $n$ mod $2=0$。假设数组 $a$ 已经按照升序排列，可以将数组从中间切分，得到两个长度相等的子数组 $a_{left}$ 和 $a_{right}$。那么最大总和即为：

$$ max(dp_{left}[n/2], dp_{right}[n/2]) $$

其中 $dp_{left}$ 和 $dp_{right}$ 分别是子数组 $a_{left}$ 和 $a_{right}$ 的动态规划数组。这是因为需要选择的数恰好是一半，所以左右两边的选择是互相独立的，不会影响到对方的选择。

代码实现

下面给出 Python 语言的代码实现，时间复杂度为 $O(nlogn)$。

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n % 2 == 1:
        return 0
    mid = n // 2
    left = nums[:mid]
    right = nums[mid:]

    def dp(nums):
        n = len(nums)
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return nums[0]
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1] = nums[0]
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1])
        return dp[-1]

    return max(dp(left), dp(right))

该函数的参数为一个数组，返回一个整数，表示最大总和。如果数组长度为奇数，返回 0。