使用二进制搜索计算第n个实根

在计算机科学中，二进制搜索（Binary Search）也称为折半搜索（Half-Interval Search）或对数搜索（Logarithmic Search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

在数学中，我们可以使用二进制搜索的思想来计算多项式的实根。对于多项式 $p(x)$，我们可以将其在实轴上的根按大小排列，设其为 $r_1 < r_2 < \cdots < r_n$。那么，我们可以使用二进制搜索来计算第 $k$ 个实根 $r_k$。

假设我们已经将实根按大小排列，并将 $l$ 设为实根的下标最小值，将 $r$ 设为实根的下标最大值。我们可以计算出多项式 $p(x)$ 在 $r=\frac{l+r}{2}$ 处的值 $v$，如果 $v$ 为正数，则第 $k$ 个实根必定在 $[l, r']$ 区间内，其中 $r'=\frac{l+r}{2}$；如果 $v$ 为负数，则第 $k$ 个实根必定在 $[r', r]$ 区间内，其中 $r'=\frac{r+l}{2}$。这样，我们可以递归地用二分法找到第 $k$ 个实根。

下面是一个使用二分法计算第 $k$ 个实根的 Python 代码：

def find_real_root(p, l, r, k):
    while l < r:
        mid = (l + r) // 2
        v = p(mid)
        if v < 0:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid
    return l

# 计算多项式 p 在 x 处的值
def p(x):
    # 在此处实现多项式的计算
    pass

# 示例
n = 5   # 根的数量
k = 3   # 第 k 个实根
r = [0, 1, 2, 3, 4]  # 根的下标
result = find_real_root(p, r[k-1], r[k], k)

在二分查找中，我们定义了一个多项式函数 $p(x)$，它接受一个$x$参数并返回多项式在$x$处的值。因此，在此处，我们需要具体实现多项式的计算。此外，我们还定义了一个根数组 $r$，其中 $r_i$ 表示多项式实根的下标。注意，我们在程序中使用下标从$0$开始计数，因此我们需要将$k$减去1，以获取正确的下标。

最后，我们调用find_real_root函数来查找第$k$个实根，并将其赋值给result变量。