矢量枫树的大小

矢量枫树是一种以空间换时间的数据结构，可以提高查询效率。在矢量枫树中，每个节点都是一棵子树的加和，因此可以在O(1)的时间复杂度内计算子树大小。

实现

矢量枫树的实现基于树状数组，需要用到以下函数：

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void update(int x, int k) {
    while (x <= n) {
        c[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

int query(int x) {
    int ans = 0;
    while (x) {
        ans += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int getsum(int l, int r) {
    return query(r) - query(l - 1);
}

其中，c[]数组为树状数组，n为序列中元素个数，lowbit()函数可以快速求出一个数字的二进制表示中最后一个1的位置。

矢量枫树的核心思路是，将序列分成若干层，每层的元素个数依次为1、2、4、8……等等，每个节点都是上一层节点的加和。这个过程类似于二叉堆中的向上调整。为了方便计算，我们可以将每层的元素分配在树状数组的不同区间中。

在实现矢量枫树时，我们可以使用递归的方式，从最底层开始，依次计算每个节点的值。当我们到达某个节点时，它的值应为它的两个子节点的值之和。对于每个节点，我们可以使用树状数组求出其对应的区间和。

示例代码

C++

const int maxn = 1e5 + 5;

int a[maxn], c[maxn], s[maxn];

void build(int l, int r, int h) {
    if (l > r) return;
    int mid = (l + r) >> 1, p = l - 1, q = mid, t = l - 1;
    build(l, mid - 1, h + 1);
    build(mid + 1, r, h + 1);
    while (p < mid && q <= r) {
        if (a[p + 1] <= a[q]) {
            update(p + 1, a[p + 1] - s[h]);
            s[h] += a[p + 1] - t - 1;
            p++;
        } else {
            s[h] += a[q] - t - 1;
            update(q, a[q] - s[h]);
            q++;
        }
        t++;
    }
    while (p < mid) {
        s[h] += a[p + 1] - t - 1;
        update(p + 1, a[p + 1] - s[h]);
        p++; t++;
    }
    while (q <= r) {
        s[h] += a[q] - t - 1;
        update(q, a[q] - s[h]);
        q++; t++;
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    build(1, n, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << getsum(1, i) << endl;
    return 0;
}

Python

def lowbit(x: int) -> int:
    return x & (-x)

def update(x: int, k: int) -> None:
    while x <= n:
        c[x] += k
        x += lowbit(x)

def query(x: int) -> int:
    ans = 0
    while x:
        ans += c[x]
        x -= lowbit(x)
    return ans

def getsum(l: int, r: int) -> int:
    return query(r) - query(l - 1)

def build(l: int, r: int, h: int) -> None:
    if l > r: return
    mid, p, q, t = (l + r) >> 1, l - 1, mid, l - 1
    build(l, mid - 1, h + 1)
    build(mid + 1, r, h + 1)
    while p < mid and q <= r:
        if a[p + 1] <= a[q]:
            update(p + 1, a[p + 1] - s[h])
            s[h] += a[p + 1] - t - 1
            p += 1
        else:
            s[h] += a[q] - t - 1
            update(q, a[q] - s[h])
            q += 1
        t += 1
    while p < mid:
        s[h] += a[p + 1] - t - 1
        update(p + 1, a[p + 1] - s[h])
        p += 1; t += 1
    while q <= r:
        s[h] += a[q] - t - 1
        update(q, a[q] - s[h])
        q += 1; t += 1

n = int(input())
a = [0] + list(map(int, input().split()))
c = [0] * (n + 1)
s = [0] * (n + 1)
build(1, n, 0)
for i in range(1, n + 1):
    print(getsum(1, i))

总结

矢量枫树通过使用树状数组计算子树大小，可以提高查询效率，是一种非常实用的数据结构。虽然它的实现比较复杂，但是可以通过仔细分析树的结构来理解其实现过程。在实际应用中，可以将矢量枫树用于各种需要统计子树大小的场合，例如树上差分、动态树、子树查询等。