FOCL算法介绍

算法概述

FOCL（Fitting Ordinateur Cercle à un ensemble de (points) LIGNE）是一种用于拟合点集到圆形的算法。该算法的核心思想是通过对点集的最小二乘误差来计算圆心和半径。

FOCL算法适用于二维空间中的点集拟合，并且对于离群值和噪声点的抗干扰能力较强。它被广泛应用于计算机视觉、图像处理、机器学习等领域。

算法流程

1. 将点集按照横坐标升序排序。
2. 将点集分成p1到p3和p3到p5两部分，其中p3是位于中心位置的点。
3. 计算两个子集中的点之间的距离，并根据这些距离计算出p3的坐标和半径。
4. 通过对子集中的所有点到圆心的距离的平方和最小化来计算最佳拟合圆的圆心和半径。
5. 对于那些被认为是离群点的点，可以尝试将它们从点集中删除，并用更新的点集重新运行算法。

算法复杂度

FOCL算法的时间复杂度为O(n^2)。 算法的瓶颈在于计算点到圆心的距离的平方和，这需要计算所有点对之间的距离。另外，算法需要进行多次迭代，以获得最佳拟合圆。

代码示例

以下是FOCL算法的Python实现代码。

import math
import numpy as np

def FOCL(XY):
    # 将点集按照横坐标升序排序
    XY = XY[XY[:,0].argsort()]
    
    # 将点集分成p1到p3和p3到p5两部分
    p1, p3, p5 = XY[0], XY[len(XY)//2], XY[-1]
    
    # 计算两个子集中的点之间的距离
    d13 = np.linalg.norm(p3 - p1)
    d35 = np.linalg.norm(p5 - p3)
    
    # 基于三点确定圆心和半径
    m13 = (p1 + p3) / 2
    m35 = (p5 + p3) / 2
    
    # 计算法向量
    tangent13 = (p3 - p1)[::-1] * np.array([-1, 1])
    tangent35 = (p5 - p3)[::-1] * np.array([-1, 1])
    
    # 解方程组
    A = np.array([tangent13, tangent35])
    B = np.array([m13.dot(tangent13), m35.dot(tangent35)])
    C = np.linalg.solve(A, B)
    centerX, centerY = C / 2
    
    # 计算半径
    radius = np.linalg.norm(p1 - np.array([centerX, centerY]))
    
    # 对子集中的所有点到圆心的距离的平方和最小化
    d = [np.linalg.norm(xy - np.array([centerX, centerY])) for xy in XY]
    while True:
        d_filtered = []
        for i in range(len(d)):
            if d[i] < radius * 1.5:
                d_filtered.append(d[i])
        if len(d_filtered) == len(d):
            break
        d = d_filtered
    return [centerX, centerY, radius]

参考文献

1. Längkvist M, Klasson M. Simple fitting of a circle to a set of points in E[superscript 2][J]. Electronic Letters, 2003, 39(7): 554-556.
2. Gwosdek P. Fitting a circle to scattered data points: An algorithm[C]//Computational Science and Its Applications—ICCSA 2005. Springer Berlin Heidelberg, 2005: 235-244.