算法 | 位算法 | 问题3

在计算机科学中，位算法是一种基于二进制位操作，通过处理每一位的值来解决一系列问题的算法。本篇文章将讨论位算法中的第3个问题，即如何从一个整数中找到它的二进制表示中的两个相邻的1，其中间的0的个数最大。

问题描述

给定一个正整数 $n$，求其二进制表示中相邻两个1中间的0的最大个数。

解法

方法1 - 暴力解法

暴力解法的思路是将 $n$ 转成二进制字符串，并从左至右遍历该字符串，记录下每两个 1 之间的 0 的个数，最后挑选出最大的一个。实现如下：

def max_distance_between_ones(n: int) -> int:
    binary_str = bin(n)[2:]
    max_distance = 0
    distance = 0
    for i in range(len(binary_str)):
        if binary_str[i] == '1':
            max_distance = max(max_distance, distance)
            distance = 0
        else:
            distance += 1
    return max_distance

该实现的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为 $n$ 的二进制表示中 0 的个数与 1 的个数之和，空间复杂度为 $O(\log(n))$。

方法2 - 位运算

经过观察，我们发现两个相邻的 1 之间的 0 的个数最多只能为 31（32 位的 int 类型）。也就是说，我们可以用一个长度为 32 的数组 $dp$ 来记录每个位置上的答案。

对于每个位置 $i$，我们可以分为以下几种情况：

• $i$ 是 $n$ 的最高位或最低位。
  • 如果是最高位，则其答案为 0。
  • 如果是最低位，则其答案为 $dp[i] = 1$，否则为 0。
• $i$ 是 1。
  • 首先将 $dp[i]$ 设为 0。
  • 向前遍历，如果遇到 1，则说明存在两个相邻的 1，此时更新 $dp[i - k] = dp[i] = k$，其中 $k$ 为两个相邻 1 中间 0 的个数。
  • 向后遍历同理。

代码实现如下：

def max_distance_between_ones(n: int) -> int:
    dp = [0] * 32
    if n & 1 == 0:
        dp[31] = 1
    last = None
    for i in range(31, -1, -1):
        if (n >> i) & 1 == 1:
            if last is not None:
                dp[last] = dp[i] = i - last - 1
            last = i
    return max(dp)

该实现的时间复杂度为 $O(\log(n))$，空间复杂度为 $O(1)$。

总结

本篇文章讨论了位算法中的第3个问题，即如何从一个整数中找到它的二进制表示中的两个相邻的 1，其中间的 0 的个数最大。我们介绍了两种解法，一种是暴力解法，时间复杂度为 $O(n)$；另一种是位运算解法，时间复杂度为 $O(\log(n))$。在实际应用中，位运算解法更为常用，因为它不仅时间复杂度更低，而且没有字符串转换的开销。