二进制字符串的最小拆分

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的二进制字符串 $s$，你需要将它拆分成若干个子串，使得每个子串都是4或6的幂。

解决方案

问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义状态 $dp_i$ 表示前 $i$ 位的最小划分次数。则状态转移方程为：

$$ dp_i = \min_{j \lt i}(dp_j + f(s_{j+1}, s_{j+2}, \cdots, s_i)) $$

其中，$f$ 为判断一个字符串是否是 4 或 6 的幂的函数。

代码片段如下：

dp = [float('inf')] * (n+1)
dp[0] = 0

def is_power_of_four_or_six(substring):
    # 判断一个字符串是否是 4 或 6 的幂
    pass

for i in range(1, n+1):
    for j in range(i):
        if is_power_of_four_or_six(s[j:i]):
            dp[i] = min( dp[i], dp[j] + 1 )

ans = dp[n]

接下来，我们需要实现 $f$ 函数。一个简单的暴力算法是先将二进制字符串转换为十进制数，再判断是否是 4 或 6 的幂。但这样的算法时间复杂度为 $O(n^2)$，无法通过本题。我们需要寻找更高效的算法。

观察到 4 和 6 都是 2 的幂，因此我们可以首先判断一个二进制字符串是否是 2 的幂，如果不是，则一定不是 4 或 6 的幂。

判断一个二进制字符串是否是 2 的幂，可以使用以下代码：

def is_power_of_two(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0

如果这个字符串是 2 的幂，则可以判断它是 4 的幂还是 6 的幂。

判断一个二进制字符串是否是 4 的幂，可以使用以下代码：

def is_power_of_four(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0 and substring % 3 == 1

判断一个二进制字符串是否是 6 的幂，可以使用以下代码：

def is_power_of_six(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0 and substring % 7 == 1

这些判断函数的时间复杂度均为 $O(\log n)$，因此总时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$。

参考代码

完整代码如下：

dp = [float('inf')] * (n+1)
dp[0] = 0

def is_power_of_two(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0

def is_power_of_four(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0 and substring % 3 == 1

def is_power_of_six(substring):
    substring = int(substring, 2)
    return substring & (substring - 1) == 0 and substring % 7 == 1

for i in range(1, n+1):
    for j in range(i):
        if is_power_of_two(s[j:i]):
            if is_power_of_four(s[j:i]):
                dp[i] = min( dp[i], dp[j] + 1 )
            elif is_power_of_six(s[j:i]):
                dp[i] = min( dp[i], dp[j] + 1 )

ans = dp[n]