二进制字符串的最大拆分，使得每个子字符串都可以被给定的奇数整除

在解决二进制字符串问题时，我们常常需要将其拆分为若干个子字符串，使得每个子字符串都可以被给定的奇数整除。本文将介绍常见的解决方法，并给出Python代码实现。

方法一：暴力枚举

我们可以枚举字符串的每一种拆分方法，然后判断是否每个子字符串都可以被给定的奇数整除。时间复杂度为$O(2^{n-1})$，其中$n$为字符串长度。

def is_divisible_by_odd(n, k):
    while n:
        if n % 2 == 0:
            n //= 2
        else:
            if n % k == 0:
                return True
            else:
                return False
    return False

def max_splits(s, k):
    n = len(s)
    res = []
    for i in range(1, 2**n):
        tmp = []
        p = 0
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                tmp.append(s[p:j+1])
                p = j + 1
        tmp.append(s[p:])
        flag = True
        for t in tmp:
            if not is_divisible_by_odd(int(t, 2), k):
                flag = False
                break
        if flag:
            res.append(tmp)
    return res[-1] if res else []

方法二：动态规划

我们可以利用动态规划将暴力枚举的时间复杂度降为$O(n^2)$。具体来说，我们用$f[i]$表示前$i$个字符的最大拆分数，那么状态转移方程为：

$$f[i]=\max{f[j]+1\mid j<i\land s[j+1:i]\text{可以被}k\text{整除}}$$

时间复杂度为$O(n^2)$。

def max_splits(s, k):
    n = len(s)
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i - 1, -1, -1):
            if int(s[j:i], 2) % k == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    res = []
    i = n
    while i > 0:
        j = i - 1
        while j >= 0 and int(s[j:i], 2) % k != 0:
            j -= 1
        res.append(s[j:i])
        i = j
    return res[::-1] if res[-1] != s else []

方法三：数位DP

我们可以利用数位DP将时间复杂度降为$O(n\log n)$。具体来说，我们用$f[i,j]$表示二进制前$i$位除以$k$余数为$j$的最大拆分数。那么状态转移方程为：

$$f[i,j]=\max{f[k,j']\mid j'=j\times2^{|s|-k}+[|s|-k+1,i]\text{可以被}k\text{整除}}+1$$

时间复杂度为$O(n\log n)$。

def max_splits(s, k):
    n = len(s)
    f = [[-1] * k for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(k):
            for p in range(i):
                mod = (j * (1 << (i - p - 1)) + int(s[p:i], 2)) % k
                if f[p][j] != -1 and mod == 0:
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[p][j] + 1)
    res = []
    i, j = n, 0
    while i > 0:
        for p in range(i):
            mod = (j * (1 << (i - p - 1)) + int(s[p:i], 2)) % k
            if f[p][j] != -1 and mod == 0 and f[i][j] == f[p][j] + 1:
                res.append(s[p:i])
                i = p
                j = (j * (1 << (i - p)) + int(s[p:i], 2)) % k
                break
    return res[::-1] if res[-1] != s else []

总结

本文介绍了三种解决二进制字符串的最大拆分问题的方法，分别是暴力枚举、动态规划和数位DP。在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并根据情况对算法进行优化。