如何检查两个给定的线段是否相交？

在计算机图形学和计算几何学中，检查线段是否相交是一项基本任务。此处我们介绍常见的两种解决方案：向量法和矩形相交法。

向量法

向量法通过计算线段的向量跨立来判断它们是否相交。具体步骤如下：

1. 将线段的端点表示为向量 $P_1$ 和 $P_2$。

2. 计算 $P_1$ 到 $P_2$ 的向量 $v_1$ 和 $P_3$ 到 $P_4$ 的向量 $v_2$。

3. 计算向量 $v_1$ 到 $v_2$ 的叉积，记为 $cross$。

4. 如果 $cross$ 的长度为零，则线段 $P_1P_2$ 和 $P_3P_4$ 平行或共线，需要进一步判断它们是否重叠。

5. 否则，计算 $v_3 = P_3 - P_1$ 和 $v_4 = P_4 - P_1$ 的叉积 $cross_1$ 和 $cross_2$。

6. 如果 $cross_1$ 和 $cross_2$ 的符号不同，则线段 $P_1P_2$ 和 $P_3P_4$ 相交；否则不相交。

下面是 Python 实现：

def intersect(p1, p2, p3, p4):
    v1 = p2 - p1
    v2 = p4 - p3
    cross = v1.x * v2.y - v2.x * v1.y
    if abs(cross) < 1e-6:  # 平行或共线
        if abs((p3 - p1).cross(v1)) < 1e-6:  # 重叠
            return False
        else:
            return False  # 不相交
    else:
        u = (p3 - p1).cross(v1) / cross
        t = (p3 - p4).cross(v2) / cross
        if 0 <= u <= 1 and 0 <= t <= 1:
            return True
        else:
            return False

p1 = Point(0, 0)
p2 = Point(0, 1)
p3 = Point(1, 0)
p4 = Point(1, 1)
print(intersect(p1, p2, p3, p4))  # False

p1 = Point(0, 0)
p2 = Point(1, 1)
p3 = Point(1, 0)
p4 = Point(0, 1)
print(intersect(p1, p2, p3, p4))  # True

矩形相交法

矩形相交法将线段所在矩形进行判定，如果两个矩形相交，则它们所对应的线段相交。具体步骤如下：

1. 将线段的端点表示为点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$。

2. 计算两个矩形的左下角和右上角坐标 $(x_{min1}, y_{min1}, x_{max1}, y_{max1})$ 和 $(x_{min2}, y_{min2}, x_{max2}, y_{max2})$。

3. 如果两个矩形在 $x$ 轴和 $y$ 轴上都有重叠，则它们相交；否则不相交。

下面是 Python 实现：

def intersect(p1, p2, p3, p4):
    x1, y1, x2, y2 = min(p1.x, p2.x), min(p1.y, p2.y), max(p1.x, p2.x), max(p1.y, p2.y)
    x3, y3, x4, y4 = min(p3.x, p4.x), min(p3.y, p4.y), max(p3.x, p4.x), max(p3.y, p4.y)
    if x2 < x3 or x1 > x4 or y2 < y3 or y1 > y4:  # 不相交
        return False
    else:
        return True

p1 = Point(0, 0)
p2 = Point(0, 1)
p3 = Point(1, 0)
p4 = Point(1, 1)
print(intersect(p1, p2, p3, p4))  # False

p1 = Point(0, 0)
p2 = Point(1, 1)
p3 = Point(1, 0)
p4 = Point(0, 1)
print(intersect(p1, p2, p3, p4))  # True

总的来说，向量法更加精确和具有一般性；而矩形相交法则更加简便和易于实现。选择哪个方法可以根据应用场景和实际需求来考虑。