检查是否可以通过在相邻的四个方向上移动来在给定时间内移动所有点

在一个给定的场景中，有多个点需要在一个固定的时间内移动到另一个特定的位置。我们需要检查是否可以通过在相邻的四个方向上移动来在给定时间内移动所有的点。

以下是一个适用于此场景的算法。该算法基于广度优先搜索，可用于确定每个点能否在给定时间内移动到指定位置。

步骤

1. 根据给定的时间和起始点，创建一个初始点，将其添加到队列中。
2. 使用广度优先遍历获取所有可达的点，并检查是否可以在给定的时间内到达目标位置。
3. 如果所有的点都可以在给定的时间内到达目标位置，则返回True，否则返回False。

以下是Python实现的示例代码：

# 计算两个点之间的距离
def distance(x1, y1, x2, y2):
    return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)

# 检查点是否可行
def is_valid_point(x, y, max_time, target_x, target_y):
    if distance(x, y, target_x, target_y) > max_time:
        return False
    if (max_time - distance(x, y, target_x, target_y)) % 2 != 0:
        return False
    return True

# 判断是否可以通过在相邻的四个方向上移动来在给定时间内移动所有点
def can_move_all_points(n, m, starting_points, target_x, target_y, max_time):
    queue = [(0, x, y) for x, y in starting_points]
    visited = set(queue)

    while queue:
        time, x, y = queue.pop(0)
        if is_valid_point(x, y, max_time - time, target_x, target_y):
            return True
        for dx, dy in [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]:
            nx, ny = x + dx, y + dy
            if nx < 0 or ny < 0 or nx >= n or ny >= m:
                continue
            if (time + 1, nx, ny) in visited:
                continue
            visited.add((time + 1, nx, ny))
            queue.append((time + 1, nx, ny))

    return False

算法解析

1. distance(x1, y1, x2, y2)：计算两个点之间的曼哈顿距离（即从点 $(x1, y1)$ 到点 $(x2, y2)$ 所需的步数）。
2. is_valid_point(x, y, max_time, target_x, target_y)：检查点 $(x, y)$ 是否可以在给定时间内移动到 $(target_x, target_y)$ 所在的位置。如果可以则返回True，否则返回False。
   • 如果从点 $(x, y)$ 到点 $(target_x, target_y)$ 所需的步数大于给定的时间，则返回False。
   • 如果从点 $(x, y)$ 到点 $(target_x, target_y)$ 所需的步数与给定的时间之间的差值为奇数，则返回False。因为每次移动只能让时间加上偶数，所以在扫过了一次点 $(x, y)$ 之后，我们只能在偶数时间到达该点。如果从点 $(x, y)$ 到点 $(target_x, target_y)$ 的步数与给定的时间之间的差值为奇数，则说明我们不能在给定的时间内到达该点。
3. can_move_all_points(n, m, starting_points, target_x, target_y, max_time)：检查是否可以通过在相邻的四个方向上移动来在给定时间内移动所有的点。如果可以则返回True，否则返回False。
   • queue = [(0, x, y) for x, y in starting_points]：创建一个初始点，将其添加到队列中。初始点的时间为0，坐标为每个点的起始坐标。
   • visited = set(queue)：将初始点添加到visited集合中，以避免重复访问。
   • while queue:：当队列不为空时，执行以下操作。
     • time, x, y = queue.pop(0)：从队列中弹出一个元素。该元素包含时间，横坐标和纵坐标三个值。
     • 如果点$(x, y)$可以在给定时间内移动到$(target_x, target_y)$所在的位置，则返回True。
     • 否则，遍历该点的所有相邻点，将未访问的点添加到队列中，时间加一。
     • 将点$(time+1, nx, ny)$添加到visited集合中，以避免重复访问。

运行时间

该算法需要访问格子网格的所有点，所以它的时间复杂度为$O(nm)$。