使用Binary Lifting在N个数字的前缀和中大于或等于X的第一个元素

Binary Lifting是一种在数列中寻找某个信息的高效算法。本文将介绍如何使用Binary Lifting，在N个数字的前缀和中查找第一个大于或等于给定值X的元素。

前缀和

在介绍Binary Lifting之前，我们需要先了解前缀和。前缀和是指对于一个数列a，它的前缀和数组sum为：

sum[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]

举个例子，如果a为{1, 2, 3, 4, 5}，那么sum就为{1, 3, 6, 10, 15}。

前缀和有一个很好的性质，就是可以用O(1)的时间复杂度计算任意区间[a, b]的和：

sum[a, b] = sum[b] - sum[a-1]

Binary Lifting

Binary Lifting是一种将倍增法和分治法相结合的算法。它的基本思想是，将原问题分解成若干个规模较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将它们的解合并起来。

在前缀和中，我们使用Binary Lifting来解决下面这个问题：给定一个数X，找到前缀和数组中第一个大于或等于X的下标i。注意，此时的前缀和数组sum是有序的。

首先，我们假设当前前缀和数组中的元素个数为N。然后，我们将这N个数字分成两部分，分别为前一半和后一半。我们分别计算这两部分的末尾元素mid1和mid2。

如果mid1的值小于X，则继续在后一半中查找；如果mid2的值大于或等于X，则继续在前一半中查找。否则，我们找到了答案——mid2所在的位置就是第一个大于或等于X的位置。

实际上，我们可以将上述过程视为一棵二叉树的遍历过程，因此得名Binary Lifting。

代码实现

下面我们就用代码实现上述算法。

def binary_lifting_sum(arr, x):
    n = len(arr)
    left, right = 0, n-1
    while left <= right:
        mid = (left + right)//2
        if arr[mid] < x:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return left

上面的代码用了一点小技巧，不是直接在前缀和数组中搜索，而是在前缀和的末尾元素中搜索。由于前缀和是单调递增的，这样会使得代码更加清晰。